Pourquoi les niveaux descendent : largeur effective et inégalité de Heisenberg

La stratégie. On remplace un problème qu'on ne résout pas (le puits fini) par un problème qu'on sait résoudre (un puits infini), en élargissant le puits de la longueur sur laquelle l'onde déborde de chaque côté. Puis on juge le modèle à son écart avec les valeurs exactes fournies.

1) Largeur effective. Pour le fondamental, $L_{\text{eff}}=10+2\times 1,62=13,24\mathrm{nm}$ ; puisque $E^{\infty }$ varie comme $1/L^2$, $$E_1\approx E_1^{\infty }{\left(\frac{L}{L_{\text{eff}}}\right)}^2=56,1\times {\left(\frac{10}{13,24}\right)}^2=32,0\mathrm{meV},$$ pour $32,8\mathrm{meV}$ exactement : $2\%$ d'écart avec un modèle d'une ligne. Pour le deuxième, $L_{\text{eff}}=10+2\times 2,14=14,28\mathrm{nm}$ et $E_2\approx 224,5\times (10/14,28{)}^2=110\mathrm{meV}$, pour $125,9\mathrm{meV}$ : l'estimation est trop basse de $13\%$.

2) Le sens, par Heisenberg. Dans le puits infini, la particule est confinée sur $L$ : $\Delta x\lesssim L$, donc $\Delta p\gtrsim \hslash /L$, et son énergie cinétique, de l'ordre de $(\Delta p{)}^2/(2m^{\ast })\gtrsim {\hslash }^2/(2m^{\ast }{L}^2)$, ne peut être plus petite : c'est l'énergie de confinement. Dans le puits fini, l'onde déborde ; la particule dispose d'une longueur de l'ordre de $L_{\text{eff}}>L$, la dispersion de sa quantité de mouvement peut être plus petite, et son énergie de confinement aussi : $$E\sim \frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }{L}_{\text{eff}}^2}<\frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }{L}^2}.$$ Plus d'espace, moins d'énergie cinétique de confinement. Le débordement a un coût : dans les parois, l'énergie potentielle vaut $V_0>E$. L'état réalise un compromis entre l'énergie cinétique gagnée en s'étalant et l'énergie potentielle payée dans les parois ; plus $V_0$ est grand, plus ce coût est élevé, et moins l'onde déborde.

3) Le tableau complété.

Le rapport $E_1/E_1^{\infty }$ croît avec la profondeur et tend vers $1$ : quand $V_0\to \infty$, ${\kappa }_1\to \infty$, $L_{\text{eff}}\to L$, et l'on retrouve le puits infini. L'approche est lente : $1/{\kappa }_1\propto 1/\sqrt{V_0-E_1}$, et ${\left(\frac{L}{L+2/{\kappa }_1}\right)}^2\approx 1-\frac{4}{{\kappa }_{1}L}$ ; à $5\mathrm{eV}$, $1-4\times 0,034=0,86$, voisin de $0,88$. Même un puits de $5\mathrm{eV}$, près de cent fois plus profond que le niveau, garde un abaissement de $12\%$. Dans un puits peu profond, $V_0-E_1$ est petit, $1/{\kappa }_1$ est grand (de l'ordre de la moitié de $L$ à $0,05\mathrm{eV}$), et le puits effectif est presque deux fois plus large que le puits géométrique : l'abaissement est fort. L'estimation par $L_{\text{eff}}$ est excellente tant que $1/\kappa \ll L$ (puits profonds) et se dégrade quand $1/\kappa$ devient comparable à $L$ : l'onde réelle ne s'arrête pas à une distance $1/\kappa$ de la paroi, elle s'y éteint progressivement, et cette « queue » exponentielle ne ressemble plus du tout à un mur.

4) Le deuxième état. $E_2/E_2^{\infty }=125,9/224,5=0,56<E_1/E_1^{\infty }=0,58$ : le deuxième état est plus abaissé, relativement, que le premier. Il est plus haut, donc plus près du bord du puits : $V_0-E_2$ est plus petit, $1/{\kappa }_2=2,14\mathrm{nm}$ plus grand, et il déborde davantage ($15\%$ de probabilité hors du puits, contre $3\%$). Pour la même raison, l'estimation par $L_{\text{eff}}$ est moins bonne ($-13\%$ contre $-2\%$) : la part de l'onde qui vit dans les parois, celle que le modèle traite le plus grossièrement, est cinq fois plus grande.

Ce que l'exercice installe. Le puits fini est un puits infini un peu plus large : $L_{\text{eff}}=L+2/\kappa$. L'inégalité de Heisenberg donne le sens de l'abaissement (plus d'espace, moins d'énergie de confinement), la largeur effective en donne l'ordre de grandeur. Un modèle simple se juge à son écart, qui grandit avec le débordement : bon pour les états profonds, médiocre pour les états proches du bord.