Problème : la radioactivité alpha par effet tunnel, loi de Geiger-Nuttall

La stratégie. Le modèle sépare deux échelles : un nombre d'essais par seconde, énorme et presque le même pour tous les noyaux, et une probabilité de passage par essai, minuscule et extraordinairement variable. Tout se joue dans l'exponentielle ${\mathrm{e}}^{-G}$, et c'est elle qui donne la loi.

1) La barrière. Pour l'uranium 238, le noyau fils est le thorium 234 ($Z=90$, $A=234$) : $$R=1,2\times (234^{1/3}+4^{1/3})=1,2\times (6,162+1,587)=9,30\mathrm{fm},$$ $$V(R)=\frac{2\times 90\times 1,44}{9,30}=27,9\mathrm{MeV},r_1=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}E}=\frac{259,2}{4,198}=61,7\mathrm{fm}.$$ La particule a $4,2\mathrm{MeV}$ et la barrière culmine à $27,9\mathrm{MeV}$ : entre $R$ et $r_1$, sur $52\mathrm{fm}$, son énergie cinétique serait négative. Classiquement, elle est prisonnière pour toujours. La barrière n'est pas rectangulaire : sa hauteur décroît en $1/r$, et surtout sa largeur $r_1-R$ dépend de l'énergie, puisque $r_1\propto 1/E$ ; une particule plus énergique voit une barrière à la fois plus basse et plus mince. C'est ce qui rend la demi-vie si sensible à l'énergie, et une largeur fixée l'effacerait. Enfin, $E/(m_{\alpha }{c}^2)=4,2/3727\approx 10^{-3}$ : la particule n'est pas relativiste ($v/c=\sqrt{2E/(m_{\alpha }{c}^2)}=0,047$).

2) Les essais et la probabilité par essai. Pour l'uranium 238 : $$v=c\sqrt{\frac{2E}{m_{\alpha }{c}^2}}=2,998\times 10^8\times \sqrt{\frac{2\times 4,198}{3727}}=1,42\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ $$\frac{v}{2R}=\frac{1,42\times 10^7}{2\times 9,30\times 10^{-15}}=7,7\times 10^{20}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La particule se présente devant la paroi près d'un milliard de milliards de fois par seconde. Puis $k=\frac{\sqrt{2m_{\alpha }{c}^{2}E}}{\hslash c}=\frac{\sqrt{2\times 3727\times 4,198}}{197,3}=0,897\mathrm{f}{\mathrm{m}}^{-1}$, $k{r}_1=55,4$ et $R/r_1=0,151$ : $$G=2\times 55,4\times \left[\arccos \sqrt{0,151}-\sqrt{0,151\times 0,849}\right]=110,7\times (1,172-0,358)=90,2,$$ d'où $T={\mathrm{e}}^{-90,2}=7\times 10^{-40}$. Pour le polonium 214 (fils : plomb 210, $Z=82$, $A=210$) : $R=9,04\mathrm{fm}$, $r_1=30,7\mathrm{fm}$, $k=1,213\mathrm{f}{\mathrm{m}}^{-1}$, $v/(2R)=1,07\times 10^{21}{\mathrm{s}}^{-1}$, $G=40,4$ et $T=2,9\times 10^{-18}$. L'approximation donne $88,0$ et $36,2$ : elle sous-estime $G$ de $2\%$ et de $10\%$, l'écart croissant quand $R/r_1$ n'est plus petit ($0,29$ pour le polonium 214). Comme $G$ est dans une exponentielle, elle servira à trouver la forme de la loi, pas les valeurs.

3) Les demi-vies. Pour l'uranium 238, $\lambda =7,65\times 10^{20}\times 6,8\times 10^{-40}=5,2\times 10^{-19}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=1,3\times 10^{18}\mathrm{s}=4,2\times 10^{10}\text{ans},$$ pour $4,47\times 10^9$ ans mesurés ($1,41\times 10^{17}\mathrm{s}$) : un facteur $9$. Pour le polonium 214, $t_{1/2}=\ln 2/(1,07\times 10^{21}\times 2,9\times 10^{-18})=2,3\times 10^{-4}\mathrm{s}=230\mu \mathrm{s}$, pour $164\mu \mathrm{s}$ : un facteur $1,4$. Pour tous :

Les demi-vies mesurées s'étalent sur vingt et un ordres de grandeur, de $164\mu \mathrm{s}$ à $4,5$ milliards d'années, pour des énergies qui ne varient que d'un facteur $7,687/4,198=1,83$. Le modèle, sans aucun paramètre ajusté, les retrouve toutes à un facteur $0,17$ à $9$ près : sur une telle échelle, c'est un succès éclatant.

4) La loi. Avec $r_1=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}E}$ et $k=\frac{\sqrt{2m_{\alpha }E}}{\hslash }$ : $$k{r}_1=\frac{2e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sqrt{2m_{\alpha }}}{\hslash }\frac{Z}{\sqrt{E}}\propto \frac{Z}{\sqrt{E}},k^2{r}_1=\frac{2m_{\alpha }E}{{\hslash }^2}\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}E}=\frac{4m_{\alpha }Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2},$$ indépendant de $E$. Alors ${\log }_{10}{t}_{1/2}={\log }_{10}\left(\frac{2R\ln 2}{v}\right)+\frac{G}{\ln 10}$ et, avec $G\approx \pi k{r}_1-4\sqrt{k^{2}R{r}_1}$, $${\log }_{10}{t}_{1/2}\approx b\frac{Z}{\sqrt{E}}+c,b=\frac{2\pi }{\ln 10}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sqrt{2m_{\alpha }{c}^2}}{\hslash c}=\frac{2\pi \times 1,44\times \sqrt{2\times 3727}}{2,303\times 197,3}=1,72,$$ pour $E$ en MeV. Le terme $c=-\frac{4}{\ln 10}\sqrt{k^{2}R{r}_1}+{\log }_{10}\left(\frac{2R\ln 2}{v}\right)$ ne dépend pas de $E$ par son premier terme, et seulement par ${\log }_{10}\sqrt{E}$ dans le second, qui varie à peine. À $Z$ et $R$ fixés, ${\log }_{10}{t}_{1/2}$ est une fonction affine de $Z/\sqrt{E}$, de pente $1,72$ : une énergie plus grande raccourcit la barrière ($r_1\propto 1/E$) et l'abaisse, et cet effet entre dans l'exponentielle.

5) La confrontation.

Les huit points s'alignent remarquablement : la droite ajustée a pour pente $1,42$ et pour ordonnée à l'origine $-45,1$, avec un coefficient de détermination $r^2=0,989$ ($0,999$ sans le polonium 210). La pente est plus faible que la pente théorique $1,72$. Entre deux isotopes d'un même élément, elle vaut $$\frac{17,15-12,89}{43,93-41,19}=1,56(\text{uranium}),\frac{2,27-(-3,79)}{33,47-29,58}=1,55(\text{polonium}),$$ plus proche de la théorie. L'écart restant vient de l'approximation de $G$ (avec le $G$ exact, le modèle donne $1,65$ entre les deux uraniums). L'écart plus grand de la droite globale vient de l'ordonnée $c$, qui dépend de $Z$ : le terme $-\frac{4}{\ln 10}\sqrt{k^{2}R{r}_1}\propto -\sqrt{ZR}$ vaut $-37,3$ pour l'uranium et $-35,1$ pour le polonium. Les noyaux lourds, à droite du diagramme, sont abaissés de deux décades de plus que les légers, ce qui aplatit la droite. Le modèle le reproduit : ses propres points, sur la chaîne, s'alignent sur une pente de $1,49$. C'est pourquoi Geiger et Nuttall avaient tracé une droite par famille.

Un seul noyau s'écarte : le polonium 210, une décade et demie au-dessus de la droite, que le modèle prévoit six fois trop court. Avec $126$ neutrons, il a une couche de neutrons pleine : ses nucléons sont plus fortement liés, et la particule alpha y est moins souvent « préformée » que dans ses voisins. Le modèle, qui la suppose toujours présente, surestime le nombre d'essais. C'est une limite de l'hypothèse de préformation, pas de l'effet tunnel.

6) La sensibilité. Autour de l'uranium 238, avec ${\log }_{10}{t}_{1/2}\approx bZ{E}^{-1/2}+c$, $$\frac{\mathrm{d}{\log }_{10}{t}_{1/2}}{\mathrm{d}E}=-\frac{bZ}{2E^{3/2}}=-\frac{1,72\times 90}{2\times 4,198^{3/2}}=-9,0\text{deˊcades par MeV}.$$ Une erreur de $0,1\mathrm{MeV}$ sur l'énergie, $2\%$, change la demi-vie d'un facteur $10^{0,9}\approx 8$. Un modèle qui se trompe d'un facteur $10$ sur la demi-vie ne se trompe donc que de l'équivalent de $0,1\mathrm{MeV}$ sur l'énergie, ou de quelques pour cent sur le rayon nucléaire. Réciproquement, perdre un mégaélectronvolt fait gagner neuf ordres de grandeur : dans cette région de noyaux, un émetteur alpha à $3\mathrm{MeV}$ vivrait bien plus longtemps que l'âge de l'Univers, et sa radioactivité serait à peine décelable.

Le résultat établi — la loi de Geiger-Nuttall. Pour les émetteurs alpha, le logarithme de la demi-vie est une fonction affine de $Z/\sqrt{E}$ : ${\log }_{10}{t}_{1/2}\approx bZ/\sqrt{E}+c$, de pente théorique $b=\frac{2\pi }{\ln 10}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sqrt{2m_{\alpha }}}{\hslash }\approx 1,72$ ($E$ en MeV), $c$ dépendant faiblement de $Z$ et du rayon du noyau. La particule alpha traverse par effet tunnel une barrière coulombienne d'autant plus mince et plus basse que son énergie est grande : un facteur $1,8$ sur l'énergie fait varier la demi-vie de vingt et un ordres de grandeur. Sur la chaîne de l'uranium 238, le modèle de Gamow retrouve les huit demi-vies mesurées, de $164\mu \mathrm{s}$ à $4,5$ milliards d'années, à un facteur $10$ près, avec ses limites : particule préformée, mouvement radial sans moment cinétique, noyau sphérique.

Ce que le problème installe. Une expression fournie du coefficient de transmission, appliquée à une barrière non rectangulaire, explique une loi empirique sur vingt ordres de grandeur ; son approximation donne la forme de la loi, l'expression complète donne les valeurs. Le mécanisme est celui de toute la séance : la sensibilité exponentielle à la largeur, à la hauteur et à la masse. On juge enfin un modèle par une droite et ses écarts : la pente, l'ordonnée qui dépend de $Z$, et le point qui sort de la droite et désigne la limite du modèle.