physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Vérification de la relation de dispersion

Approche ondulatoire de la mécanique quantique · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que l'onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger libre, fournie, $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}$ , et en déduire $ω (k)$ .

Corrigé

On calcule $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - i ω ψ$ et $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = - k^{2} ψ$ . En reportant :

$i ℏ (- i ω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω ψ = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} ψ .$

En simplifiant par $ψ$ , qui ne s'annule pas : $ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ , soit $E = p^{2} /2 m$ avec $E = ℏ ω$ et $p = ℏ k$ .

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