Deux mesures indépendantes de la même longueur

Exercice supplémentaire · niveau 2 · physique (première), chapitre 1 — Mesure et incertitudes · Propager une incertitude

Énoncé

Deux mesures indépendantes de la même longueur : $ℓ_{1} = 152, 4 \pm 0, 4$ mm et $ℓ_{2} = 152, 8 \pm 0, 2$ mm. On les combine par la moyenne pondérée, chaque mesure recevant le poids $w = \frac{1}{u ^{2}}$ :

$ℓ = \frac{w _{1} ℓ _{1} + w _{2} ℓ _{2}}{w _{1} + w _{2}}, u (ℓ) = \frac{1}{w _{1} + w _{2}} .$

Vérifier d'abord que les deux mesures sont compatibles.
Calculer $ℓ$ et son incertitude ; commenter.

Corrigé

1. $[152, 0; 152, 8]$ et $[152, 6; 153, 0]$ se recouvrent sur $[152, 6; 152, 8]$ : les mesures sont compatibles, la combinaison est légitime.<br> 2. $w_{1} = \frac{1}{0 , 4 ^{2}} = 6, 25$ et $w_{2} = \frac{1}{0 , 2 ^{2}} = 25$ , donc

$ℓ = \frac{6 , 25 \times 152 , 4 + 25 \times 152 , 8}{31 , 25} = 152, 72 mm, u = \frac{1}{31 , 25} \approx 0, 18 mm .$

Résultat : $ℓ = 152, 72 \pm 0, 18$ mm.

Deux commentaires : la moyenne pondérée est tirée vers la mesure la plus précise ( $152, 72$ est bien plus proche de $152, 8$ que de $152, 4$ ), et l'incertitude finale ( $0, 18$ ) est plus petite que la meilleure des deux ( $0, 2$ ) — combiner fait toujours gagner.

Piège : combiner deux mesures incompatibles. Le calcul donnerait un nombre, mais ce nombre n'aurait aucun sens : avant de moyenner, il faut comprendre pourquoi elles diffèrent.

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