On mesure le diamètre d'un cylindre avec un pied à coulisse au 1/50 de…

Mesure et incertitudes · Évaluer une incertitude-type · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On mesure le diamètre d'un cylindre avec un pied à coulisse au $1/50$ de millimètre (résolution $Δ = 0, 02$ mm).

Élève A : une seule mesure, $d = 12, 46$ mm.
Élève B : neuf mesures en tournant le cylindre entre chaque, de moyenne $12, 49$ mm et d'écart-type $0, 06$ mm.

Évaluer l'incertitude-type de A (type B, $u = \frac{Δ}{2 3}$ ) et écrire son résultat.
Évaluer celle de B (type A) et écrire son résultat.
B a fait neuf fois plus de mesures et annonce pourtant une incertitude plus grande. A-t-il eu tort ?

Corrigé

1. $u_{A} (d) = \frac{0 , 02}{2 3} \approx 0, 0058 \approx 0, 006$ mm, d'où $d = 12, 460 \pm 0, 006$ mm.
2. $u_{B} (d) = \frac{0 , 06}{9} = 0, 02$ mm, d'où $d = 12, 49 \pm 0, 02$ mm.
3. Non, au contraire. L'évaluation de type B ne chiffre que la lecture de l'instrument ; elle suppose implicitement que l'objet est parfait et que l'opérateur se place toujours de la même façon. L'évaluation de type A, elle, intègre tout ce qui varie réellement : l'ovalisation du cylindre, la pression du serrage, le point de mesure. L'incertitude de A est donc optimiste — le résultat de B est le plus honnête.

Contrôle : incertitudes relatives $\frac{0 , 006}{12 , 46} \approx 5 \times 1 0^{- 4}$ contre $\frac{0 , 02}{12 , 49} \approx 1, 6 \times 1 0^{- 3}$ : les deux restent bien inférieures au pourcent, ordre de grandeur attendu pour un pied à coulisse.

Piège : confondre la résolution de l'appareil avec l'incertitude sur le mesurande. Un affichage à cinq chiffres ne rend pas une mesure précise à cinq chiffres.