On veut mesurer l'épaisseur e d'une feuille de papier avec une règle…

Mesure et incertitudes · Choisir et critiquer un protocole · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On veut mesurer l'épaisseur $e$ d'une feuille de papier avec une règle graduée au millimètre.

Une élève mesure une feuille seule. Quelle incertitude-type peut-elle espérer ? Conclure sur la pertinence du protocole.
Elle mesure alors une rame de $500$ feuilles : elle trouve $48, 5$ mm avec $u = 0, 3$ mm. En déduire $e$ et $u (e)$ .
Par quel facteur l'incertitude relative a-t-elle été améliorée ?

Corrigé

1. Type B : $u = \frac{1 , 0}{2 3} \approx 0, 3$ mm. Or l'épaisseur cherchée vaut environ $0, 1$ mm : l'incertitude est trois fois plus grande que la grandeur elle-même. La mesure ne dit strictement rien — elle est même compatible avec $e = 0$ .
2. La pile de $500$ feuilles a une épaisseur $500 e$ , donc

$e = \frac{48 , 5}{500} = 0, 0970 mm, u (e) = \frac{0 , 3}{500} = 0, 0006 mm,$

soit $e = 0, 0970 \pm 0, 0006$ mm. La division par $500$ s'applique aussi à l'incertitude.
3. Incertitude relative : $\frac{0 , 3}{0 , 1} = 300 %$ dans le premier cas, $\frac{0 , 0006}{0 , 0970} \approx 0, 6 %$ dans le second. Le gain est d'un facteur $500$ — exactement le nombre de feuilles empilées.

Contrôle : $0, 097$ mm $\approx 100$ µ m, ordre de grandeur attendu pour un papier de $80$ g $\cdot$ m $^{- 2}$ .

Piège : diviser l'épaisseur par $500$ et oublier de diviser l'incertitude — on annoncerait alors $0, 097 \pm 0, 3$ mm, ce qui ruine tout le bénéfice du protocole.