Un pendule simple de longueur m a une période s

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 1 — Mesure et incertitudes · Propager une incertitude

Énoncé

Un pendule simple de longueur $ℓ = 0, 650 \pm 0, 002$ m a une période $T = 1, 617 \pm 0, 004$ s. La loi $T = 2 π ℓ / g$ donne $g = \frac{4 π ^{2} ℓ}{T ^{2}}$ , avec $\frac{u ( g )}{g} = (\frac{u ( ℓ )}{ℓ})^{2} + (2 \frac{u ( T )}{T})^{2}$ . Calculer $g$ et $u (g)$ , puis conclure par rapport à $9, 81$ N $\cdot$ kg $^{- 1}$ .

Corrigé

$g = \frac{4 π ^{2} \times 0 , 650}{1 , 61 7 ^{2}} \approx 9, 814 N \cdot kg^{- 1} .$

Incertitudes relatives : $\frac{0 , 002}{0 , 650} = 0, 31 %$ pour $ℓ$ , et $2 \times \frac{0 , 004}{1 , 617} = 0, 49 %$ pour $T$ (l'exposant $2$ double la contribution). Donc

$\frac{u ( g )}{g} = 0, 003 1^{2} + 0, 004 9^{2} \approx 0, 0058, u (g) \approx 0, 057 N \cdot kg^{- 1} .$

Résultat : $g = 9, 81 \pm 0, 06$ N $\cdot$ kg $^{- 1}$ — parfaitement compatible avec la référence (l'écart vaut $0, 004$ , soit moins d'un dixième de $u$ ).

Contrôle : l'ordre de grandeur est bon et l'incertitude relative reste sous le pourcent, ce qu'on attend d'un bon TP de pendule.

Piège : oublier le facteur $2$ devant $\frac{u ( T )}{T}$ . La période intervenant au carré, une erreur de $1 %$ sur $T$ en produit $2 %$ sur $g$ : c'est la mesure à soigner en priorité.

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