Complément – Normalisation d'une fonction d'onde gaussienne

La condition de normalisation s'écrit

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|\psi \right|}^2\mathrm{d}x=A^2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2/a^2}\mathrm{d}x=A^{2}a\sqrt{\pi }=1,$$

où l'on a utilisé ${\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-x^2/a^2}\mathrm{d}x=a\sqrt{\pi }$ (intégrale de Gauss, changement de variable $u=x/a$). D'où $A=(a\sqrt{\pi }{)}^{-1/2}=(\pi a^2{)}^{-1/4}$, en $m^{-1/2}$. La densité est maximale en $x=0$ : ${\rho }_{\max }=A^2=1/(a\sqrt{\pi })$, d'autant plus grande que la fonction d'onde est étroite. C'est la fonction d'onde du fondamental d'un oscillateur harmonique, donnée normalisée dans le TD (molécule CO).