Complément – Probabilité de présence dans un intervalle

Fonction d'onde et équation de Schrödinger · niveau 2

Énoncé

(Complément : normalisation et valeurs moyennes ne sont pas des capacités exigibles.) Une fonction d'onde vaut $ψ (x) = A e^{- ∣ x ∣ / a}$ ( $a > 0$ ).

Normaliser $ψ$ , puis calculer les probabilités de trouver la particule dans $[- a, a]$ et dans $[- 2 a, 2 a]$ .
Déterminer $⟨ x ⟩$ et l'écart-type $σ_{x}$ de la position, puis la probabilité que $∣ x ∣ < σ_{x}$ .

Corrigé

Par parité, $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = 2 A^{2} \int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x / a} d x = 2 A^{2} \cdot \frac{a}{2} = A^{2} a = 1$ , donc $A = 1/ a$ . Ensuite, pour $b > 0$ ,

$P (- b \leq X \leq b) = \frac{2}{a} \int_{0}^{b} e^{- 2 x / a} d x = 1 - e^{- 2 b / a},$

soit $1 - e^{- 2} \approx 0, 865$ pour $b = a$ et $1 - e^{- 4} \approx 0, 982$ pour $b = 2 a$ : la particule a $86 %$ de chances d'être à moins de $a$ de l'origine.

La densité $∣ ψ ∣^{2} = \frac{1}{a} e^{- 2 ∣ x ∣ / a}$ est paire : $⟨ x ⟩ = 0$ . Puis $⟨ x^{2} ⟩ = \frac{2}{a} \int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- 2 x / a} d x = \frac{2}{a} \times 2 (\frac{a}{2})^{3} = \frac{a ^{2}}{2}$ , d'où $σ_{x} = a / 2$ et $P (∣ X ∣ < σ_{x}) = 1 - e^{- 2} \approx 0, 757$ . Trois mesures sur quatre tombent à moins d'un écart-type du centre.