Écrire le raccordement sur une marche, E<V₀ — exercice corrigé de physique quantique (MP) (chapitre 1)

Écrire le raccordement sur une marche,

E < V_{0}

Fonction d'onde et équation de Schrödinger · niveau 2

Énoncé

Dans un potentiel $V = 0$ pour $x < 0$ et $V = V_{0} > E > 0$ pour $x > 0$ , écrire la forme générale de l'état stationnaire $φ$ dans chaque zone (oscillante, évanescente), éliminer la solution non physique, puis écrire les deux équations de raccordement en $x = 0$ . On ne demande pas de les résoudre.

Corrigé

Pour $x < 0$ , $E > V$ : $φ^{''} = - k^{2} φ$ avec $k = 2 m E /ℏ$ , d'où $φ_{1} (x) = A e^{ik x} + B e^{- ik x}$ (ondes incidente et réfléchie). Pour $x > 0$ , $E < V_{0}$ : $φ^{''} = κ^{2} φ$ avec $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ , d'où $φ_{2} (x) = C e^{- κ x} + D e^{κ x}$ . Le terme $D e^{κ x}$ divergerait quand $x \to + \infty$ : $φ$ ne serait pas bornée, donc $D = 0$ , et il reste l'onde évanescente $C e^{- κ x}$ . Le potentiel étant fini en $x = 0$ , $φ$ et $φ^{'}$ y sont continues :

$A + B = C et ik (A - B) = - κ C .$

Deux équations pour trois amplitudes : elles fixent $B$ et $C$ en fonction de l'amplitude incidente $A$ ; leur résolution et leur interprétation sont l'objet du chapitre sur la marche de potentiel.

Écrire le raccordement sur une marche, E<V0​

Énoncé

Corrigé

Écrire le raccordement sur une marche, $E < V_{0}$