Problème : les fentes d'Young électron par électron, l'interprétation de Born et le principe de superposition

La stratégie. On établit d'abord qu'il n'y a qu'un électron à la fois dans l'appareil. On ajoute ensuite les amplitudes (linéarité), on en tire la densité, et on la lit comme une probabilité d'impact (Born) : chaque impact est aléatoire, la figure n'apparaît que dans la statistique. Enfin, une phase commune ne se voit pas, une différence de phase entre les chemins déplace les franges.

1) Un électron à la fois. $eU=8,01\times 10^{-15}\mathrm{J}$ et $$\lambda =\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 8,01\times 10^{-15}}}=5,49\times 10^{-12}\mathrm{m},$$ $2\%$ au-dessus de la valeur relativiste : à $0,41c$, la correction est faible ; on utilise $5,36\mathrm{pm}$. À $1000$ électrons par seconde, deux électrons successifs sont séparés de $1\mathrm{ms}$ en moyenne, soit de $1,24\times 10^8\times 10^{-3}=1,2\times 10^5\mathrm{m}$ : cent vingt kilomètres, pour une colonne d'un mètre et demi, traversée en $1,5/(1,24\times 10^8)=12\mathrm{ns}$. Il n'y a presque jamais d'électron dans le microscope, et jamais deux : si des franges apparaissent, elles ne viennent pas d'une interaction entre électrons. Chaque électron « interfère avec lui-même ».

2) La prévision corpusculaire. Par Born, la densité d'impact est $|{\psi }_1{|}^2$ avec $F_1$ seule, $|{\psi }_2{|}^2$ avec $F_2$ seule : deux taches larges (la diffraction par une fente fine), sans franges. Si chaque électron passait par $F_1$ ou $F_2$, les deux cas s'excluant, les probabilités s'ajouteraient : densité proportionnelle à $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$, et toujours aucune frange.

3) Les amplitudes s'ajoutent. L'équation de Schrödinger est linéaire : ${\psi }_1+{\psi }_2$ en est solution (principe de superposition). Alors $$|\psi {|}^2=|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2+2\mathrm{Re}\left({\psi }_1{\psi }_2^{\ast }\right);$$ le terme d'interférence n'a pas d'équivalent corpusculaire : ce sont les amplitudes qui s'ajoutent, non les probabilités. Avec $F_{1,2}$ en $(0,\pm a/2)$ et $M$ en $(D,x)$, $r_{1,2}=\sqrt{D^2+(x\mp a/2{)}^2}\approx D+\frac{(x\mp a/2{)}^2}{2D}$, d'où $r_2-r_1\approx \frac{ax}{D}$ ; puis ${\psi }_1{\psi }_2^{\ast }=|A{|}^2{\mathrm{e}}^{-ik(r_2-r_1)}$ et $$|\psi {|}^2=2|A{|}^2\left[1+\cos \left(\frac{2\pi ax}{\lambda D}\right)\right],i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{5,36\times 10^{-12}\times 0,20}{1,0\times 10^{-6}}=1,1\mu \mathrm{m}.$$ C'est la formule des trous d'Young, avec la longueur d'onde de de Broglie : mesurer $i$, $a$ et $D$, c'est mesurer $\lambda$ et vérifier $\lambda =h/p$. L'interfrange est minuscule, $\lambda$ étant cent mille fois plus petite que celle de la lumière : les lentilles électroniques du microscope agrandissent la figure quelques milliers de fois. Aux maxima, la densité vaut $4|A{|}^2$, le double de la somme des densités des deux fentes ; aux minima, elle est nulle : ouvrir la deuxième fente supprime des impacts, ce qu'aucune image corpusculaire n'explique.

4) Born, impact par impact. L'interprétation de Born ne dit pas où tombera le prochain électron : elle donne la probabilité $|\psi (x){|}^2\mathrm{d}x$ qu'il tombe entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$. Chaque impact est ponctuel (aspect corpusculaire) et aléatoire ; la distribution d'un grand nombre d'impacts reproduit $|\psi {|}^2$ (aspect ondulatoire). Pour une frange centrée sur un maximum, la fraction des impacts dans la moitié brillante vaut $$\frac{1}{i}{\int }_{-i/4}^{i/4}\left[1+\cos \frac{2\pi x}{i}\right]\mathrm{d}x=\frac{1}{i}\left(\frac{i}{2}+\frac{i}{\pi }\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }=0,82,$$ contre $\frac{1}{2}$ sans interférences. Sur une frange qui reçoit $n$ impacts, la moitié brillante en compte $0,82n$, la sombre $0,18n$ : l'écart $0,64n$ doit dépasser quelques fluctuations, disons $3\sqrt{n}$, soit $n\gtrsim 22$ et $N=20n\gtrsim 450$. À $N=11$ ($n=0,55$), les impacts semblent jetés au hasard ; à $N=200$ ($n=10$ : écart $6,4$ pour une fluctuation de $3,2$, deux fluctuations seulement), on devine à peine une modulation ; à $N=6000$ ($n=300$ : écart $190$ pour $17$), les franges sont nettes, et parfaites à $40000$ puis $140000$. C'est ce que montrent les clichés de Tonomura.

Simulation : impacts tirés au hasard selon $|\psi {|}^2$ (avec une enveloppe lente $|A(x){|}^2$ due à la largeur des fentes) : $11$, puis $200$ impacts, puis l'histogramme de $6000$ impacts (les nombres des clichés publiés) et la courbe $|\psi {|}^2$.

5) Les phases. a) $|{\mathrm{e}}^{i\alpha }\psi {|}^2=|\psi {|}^2$ partout : rien ne change, une phase globale n'est pas observable. b) Où $V=V_0$, l'équation stationnaire donne des solutions oscillantes de vecteur d'onde $$k^{\prime }=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash }=k\sqrt{1-\frac{V_0}{E}}\approx k\left(1-\frac{V_0}{2E}\right):$$ le terme cinétique a diminué de $V_0$, la longueur d'onde s'allonge. Sur la longueur $L$, ${\psi }_2$ accumule la phase $k^{\prime }L$ au lieu de $kL$ ; avec $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ et $\hslash k=mv$, $$\Delta \phi =(k^{\prime }-k)L=-\frac{kL{V}_0}{2E}=-\frac{V_{0}L}{\hslash v}=-\frac{V_0\tau }{\hslash },$$ où $\tau =L/v$ est la durée de traversée : une énergie $V_0$ pendant $\tau$ fait tourner la phase de $V_0\tau /\hslash$, c'est Planck-Einstein. Le terme d'interférence devient $\cos \left(\frac{2\pi x}{i}\pm \Delta \phi \right)$ selon l'orientation de l'axe : les franges se déplacent en bloc de $\frac{|\Delta \phi |}{2\pi }i$, d'une frange entière pour $|\Delta \phi |=2\pi$, soit $$V_0=\frac{hv}{L}=\frac{6,63\times 10^{-34}\times 1,24\times 10^8}{10\times 10^{-6}}=8,2\times 10^{-21}\mathrm{J}=0,051\mathrm{eV}:$$ une différence de potentiel de $51\mathrm{mV}$ sur dix micromètres, face à $50\mathrm{keV}$, décale la figure d'une frange, et un dixième de frange se mesure. C'est le principe de l'holographie électronique, développée par Tonomura pour cartographier des potentiels à l'échelle du nanomètre. Comparaison avec l'exercice 3 : un potentiel appliqué partout n'ajoute qu'une phase globale et ne se voit pas ; appliqué sur un seul chemin, il crée une différence de phase, et se voit.

6) Cas limites, et le résultat. a) $|\psi {|}_{\max }^2=(|{\psi }_1|+|{\psi }_2|{)}^2=\frac{9}{4}|{\psi }_1{|}^2$ et $|\psi {|}_{\min }^2=\frac{1}{4}|{\psi }_1{|}^2$, d'où $$C=\frac{2|{\psi }_1||{\psi }_2|}{|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=0,8:$$ les franges subsistent, moins contrastées, à minima non nuls. Si $F_2$ est fermée, ${\psi }_2=0$ : plus de terme d'interférence, $C=0$, seule reste la tache de $F_1$. b) Quand $\lambda \to 0$ (particules plus lourdes ou plus rapides), $i=\lambda D/a\to 0$ : dès que l'interfrange passe sous la résolution du détecteur, chaque pixel reçoit autant de frange brillante que de sombre, le cosinus se moyenne à zéro, et l'on mesure $|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2$. L'addition des probabilités, la prévision corpusculaire, est la limite classique de l'addition des amplitudes ; pour une balle de tennis ($\lambda \approx 4\times 10^{-34}\mathrm{m}$), aucune frange n'est concevable, alors qu'on en observe avec des molécules de soixante atomes de carbone. c) Le résultat.

Le résultat obtenu — l'interprétation probabiliste de Born et le principe de superposition. Une particule envoyée seule dans un dispositif à deux chemins est décrite par la somme des amplitudes associées aux deux chemins, $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$, parce que l'équation de Schrödinger est linéaire ; $|\psi {|}^2$ est la densité de probabilité d'impact. Chaque particule laisse un impact ponctuel et imprévisible ; la figure d'interférences, d'interfrange $\lambda D/a$ avec $\lambda =h/p$, n'apparaît que dans la statistique d'un grand nombre d'impacts. Les probabilités ne s'ajoutent pas : le terme d'interférence $2\mathrm{Re}({\psi }_1{\psi }_2^{\ast })$ supprime des impacts là où chaque fente seule en donnerait. Une phase commune est inobservable ; une différence de phase entre les chemins déplace les franges. Pour les électrons de $50\mathrm{keV}$, quelques centaines d'impacts suffisent à faire apparaître les franges, et quelques dizaines de millivolts sur un seul chemin les décalent.

Ce que le problème installe. Additionner des amplitudes, non des probabilités : la linéarité donne $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2$, le module au carré fait naître le terme d'interférence. Lire $|\psi {|}^2$ comme une probabilité : un impact est aléatoire, la figure est statistique, et son apparition se chiffre par les fluctuations en $\sqrt{n}$. Distinguer la phase globale, inobservable, de la différence de phase, observable, reliée par Planck-Einstein à une énergie et une durée. Et reconnaître dans l'addition des probabilités la limite classique.