Quand l'onde de matière compte-t-elle ? Le critère $\lambda \gtrsim d$

La stratégie. La longueur d'onde n'a de conséquence observable que comparée à une autre longueur : la période d'un réseau qui diffracte, ou la distance entre particules dont les ondes pourraient se recouvrir. On calcule toujours un rapport $\lambda /d$.

1) Diffraction par les cristaux. De $p=h/\lambda$ : $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m{E}_c}}$. Électron : $E_c=eU=1,60\times 10^{-15}\mathrm{J}$ et $$\lambda =\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 1,60\times 10^{-15}}}=1,23\times 10^{-11}\mathrm{m},$$ soit $12,2\mathrm{pm}$ après correction relativiste : vingt fois moins que $d$, d'où des faisceaux diffractés sous des angles de l'ordre de $\lambda /d\approx 0,05\mathrm{rad}$, trois degrés, bien mesurables (diffraction électronique des microscopes). Neutron : $E_c=4,14\times 10^{-21}\mathrm{J}$ ($26\mathrm{meV}$) et $$\lambda =\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 1,675\times 10^{-27}\times 4,14\times 10^{-21}}}=1,78\times 10^{-10}\mathrm{m},$$ du même ordre que $d$ : les neutrons thermalisés d'un réacteur sondent la structure des cristaux. Comme $\lambda \propto 1/\sqrt{m{E}_c}$, le neutron, $1840$ fois plus lourd, compense une énergie bien plus faible.

2) Le critère. Chaque particule dispose du volume $1/n$ : $d=n^{-1/3}$. Si $\lambda \ll d$, les ondes de deux voisines ne se recouvrent pas : le gaz est classique. Si $\lambda \gtrsim d$, elles se recouvrent et le gaz ne se comprend plus sans la mécanique quantique. La condition $\lambda =d$ avec $\lambda =h/\sqrt{2m{k}_{B}T}$ donne $$T^{\ast }=\frac{h^2{n}^{2/3}}{2m{k}_B}.$$ Homogénéité : $h^2{n}^{2/3}/m$ est en ${\mathrm{J}}^2{\mathrm{s}}^2{\mathrm{m}}^{-2}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}=\mathrm{J}$ (car $1\mathrm{J}=1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$), et divisé par $k_B$ c'est une température. Un gaz est quantique pour $T\lesssim T^{\ast }$ : froid, dense et léger. Le critère est un ordre de grandeur (prendre $\frac{3}{2}{k}_{B}T$ change $T^{\ast }$ d'un facteur $1,5$) : seul compte l'écart de plusieurs décades entre $T$ et $T^{\ast }$.

3) Quatre systèmes. a) L'air : $n=\frac{P}{k_{B}T}=2,45\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$, $d=3,44\mathrm{nm}$, et $\lambda =33,8\mathrm{pm}$, cent fois plus petite ; $T^{\ast }=0,029\mathrm{K}$, bien sous la liquéfaction ($77\mathrm{K}$) : l'air est un gaz classique, ce qui fonde la théorie cinétique. b) Les électrons du cuivre : $d=0,227\mathrm{nm}$ ; l'électron étant $50000$ fois plus léger que la molécule de diazote, $\lambda =7,6\mathrm{nm}$, trente fois $d$, et $$T^{\ast }=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2\times (8,5\times 10^{28}{)}^{2/3}}{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 1,381\times 10^{-23}}=3,4\times 10^5\mathrm{K},$$ deux cent cinquante fois la température de fusion du cuivre : le gaz d'électrons d'un métal est quantique à toute température, et un modèle classique de la conduction ne peut être qu'approché. c) L'hélium liquide : $n=\frac{145}{4,00\times 1,661\times 10^{-27}}=2,18\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$, $d=0,358\mathrm{nm}$, $\lambda =1,05\mathrm{nm}\approx 3d$ ($T^{\ast }=19\mathrm{K}$) : un liquide quantique, superfluide sous $2,17\mathrm{K}$, qui ne gèle pas sous sa propre pression de vapeur. d) Le rubidium : $d=0,215\mu \mathrm{m}$ et, avec $m=1,44\times 10^{-25}\mathrm{kg}$, $\lambda =1,05\mu \mathrm{m}$, cinq fois $d$ ($T^{\ast }=2,4\mu \mathrm{K}$) : un gaz deux cent mille fois plus dilué que l'air est quantique parce qu'il est trois milliards de fois plus froid ; c'est le régime du condensat de Bose-Einstein (1995).

Sur cette échelle logarithmique, le cercle marque $d$ et le disque $\lambda$ : les trois systèmes quantiques ont leur disque à droite de leur cercle, l'air deux décades à gauche ; les deux lignes du haut comparent $\lambda$ à la distance interatomique d'un cristal.

4) La balle de tennis. $\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{0,060\times 30}=3,7\times 10^{-34}\mathrm{m}$, dix-huit ordres de grandeur sous la taille d'un noyau : aucune structure ne la révèle. C'est la limite classique : quand $\lambda \to 0$ devant toutes les longueurs du problème, la trajectoire redevient une description exacte.

Ce que l'exercice installe. Comparer $\lambda$ à la longueur caractéristique du problème : période d'un cristal pour la diffraction, distance $d=n^{-1/3}$ pour un gaz. D'où $T^{\ast }=h^2{n}^{2/3}/(2m{k}_B)$ : un gaz est quantique s'il est froid, dense et léger ; l'air ne l'est jamais, les électrons d'un métal toujours.