Quelle équation pour l'onde de matière ? Terme cinétique et origine des énergies

La stratégie. Sur une onde plane, dériver revient à multiplier : $\frac{\partial }{\partial t}\to -i\omega$, $\frac{\partial }{\partial x}\to ik$. Une équation candidate devient une relation $\omega (k)$, que Planck-Einstein et de Broglie traduisent en relation $E(p)$ ; on garde celle qui redonne $E=p^2/2m$.

1) D'Alembert. $-{\omega }^2=-c^2{k}^2$, soit $\omega =ck$ et, multipliée par $\hslash$, $E=pc$ : la relation du photon, particule de masse nulle. Pour une particule massive non relativiste, $E$ doit croître comme $p^2$ : une équation du second ordre en temps et en espace ne convient pas.

2) La diffusion. $-i\omega =-D{k}^2$, soit $\omega =-iD{k}^2$, imaginaire pure : ${\mathrm{e}}^{-i\omega t}={\mathrm{e}}^{-D{k}^{2}t}$ et $|\psi {|}^2=|A{|}^2{\mathrm{e}}^{-2D{k}^{2}t}$. L'onde ne se propage pas, elle s'amortit sur place, comme un profil de température qui se lisse. La densité décroissant partout, la particule disparaîtrait : une telle équation décrit une grandeur qui se dissipe, pas une particule.

3) Un coefficient imaginaire. Il faut $\omega =\frac{\hslash k^2}{2m}$ réel, donc $-iD=\frac{\hslash }{2m}$, soit $$D=\frac{i\hslash }{2m}⟺i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.$$ L'équation de Schrödinger libre est une équation de diffusion à coefficient imaginaire : le facteur $i$ change l'amortissement en oscillation. Il interdit une fonction d'onde réelle : si $\psi$ était réelle, $\frac{\partial \psi }{\partial t}$ serait réel et $\frac{i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}$ imaginaire pur ; les deux seraient nuls, et $\psi$, affine en $x$ et constante dans le temps, ne décrirait aucune particule. La fonction d'onde est complexe par nécessité, non par commodité comme en électrocinétique. Pour l'électron, $|D|=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\times 9,11\times 10^{-31}}=5,8\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$, du même ordre que la diffusivité du cuivre.

4) Le terme cinétique. Sur l'onde plane, $i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hslash \omega \psi =E\psi$ et $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\psi =\frac{p^2}{2m}\psi$ : le terme en dérivée seconde par rapport à $x$ est associé à l'énergie cinétique, $V\psi$ à l'énergie potentielle, et l'équation se lit « énergie totale égale cinétique plus potentielle ». Homogénéité : $\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$ est en $\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}[\psi ]=\mathrm{J}[\psi ]$, $\frac{{\hslash }^2}{m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}$ en $\frac{{\mathrm{J}}^2{\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2}[\psi ]=\mathrm{J}[\psi ]$, $V\psi$ aussi.

5) L'origine des énergies. Avec $V=V_0$ : $\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+V_0$ (courbe décalée de $V_0/\hslash$ sur la figure). En posant ${\omega }_0=\frac{\hslash k^2}{2m}$, $$\psi =A{\mathrm{e}}^{i(kx-{\omega }_{0}t)}{\mathrm{e}}^{-i{V}_{0}t/\hslash }={\psi }_{\mathrm{libre}}{\mathrm{e}}^{-i{V}_{0}t/\hslash };$$ plus généralement, la dérivée temporelle de ce facteur ajoute exactement $V_0\psi$ au premier membre, si bien que toute solution libre multipliée par ${\mathrm{e}}^{-i{V}_{0}t/\hslash }$ est solution avec $V_0$. Ce facteur est de module $1$ : la densité de présence est inchangée, seule la pulsation de la phase a changé, et une phase commune à toute la fonction d'onde n'est pas observable. L'origine des énergies est arbitraire ; seules les différences d'énergie sont observables. Le problème montre qu'un potentiel appliqué sur un seul des deux chemins d'une expérience d'interférences, lui, se voit.

Remarque : l'énergie de masse. Inclure l'énergie de masse $m{c}^2$ ajouterait le facteur ${\mathrm{e}}^{-im{c}^{2}t/\hslash }$, de pulsation $7,8\times 10^{20}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ pour l'électron, cinq mille fois celle d'une énergie cinétique de $100\mathrm{eV}$ : une phase globale, qu'on omet sans rien perdre.

Ce que l'exercice installe. Essayer l'onde plane transforme une équation linéaire en relation $\omega (k)$, donc $E(p)$. Seule une équation du premier ordre en temps, du second en espace, à coefficient imaginaire, redonne $E=p^2/2m$ : $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}$ est le terme cinétique, et $\psi$ est complexe par nécessité. Une constante ajoutée à $V$ partout n'est qu'une phase globale : l'origine des énergies n'est pas observable.