Complément : étalement d'un paquet gaussien

Particule libre et densité de courant de probabilité · niveau 2

Énoncé

Complément hors programme. On admet que l'écart-type de la position d'un paquet initialement gaussien d'écart-type $σ_{0}$ évolue selon $σ_{x} (t) = σ_{0} 1 + (t / τ)^{2}$ , avec $τ = 2 m σ_{0}^{2} /ℏ$ . Au bout de quelle durée la largeur a-t-elle doublé ? Application à un électron avec $σ_{0} = 1 nm$ , à un grain de poussière ( $m = 1 \times 1 0^{- 9} kg$ , $σ_{0} = 1 μ m$ ) et à une bille de $1 g$ ( $σ_{0} = 1 μ m$ ).

Corrigé

$σ_{x} = 2 σ_{0}$ pour $1 + (t / τ)^{2} = 4$ , soit $t_{2} = 3 τ$ . Le temps $τ$ croît comme la masse et comme le carré de la largeur initiale : un paquet étroit (impulsion très dispersée, par Heisenberg) s'étale vite.

Électron : $τ = \frac{2 \times 9 , 109 \times 1 0 ^{- 31} \times ( 1 \times 1 0 ^{- 9} ) ^{2}}{1 , 055 \times 1 0 ^{- 34}} = 1, 7 \times 1 0^{- 14} s$ , $t_{2} = 3, 0 \times 1 0^{- 14} s$ : en trente femtosecondes.
Grain : $τ = \frac{2 \times 1 \times 1 0 ^{- 9} \times ( 1 \times 1 0 ^{- 6} ) ^{2}}{1 , 055 \times 1 0 ^{- 34}} = 1, 9 \times 1 0^{13} s$ , $t_{2} = 3, 3 \times 1 0^{13} s$ , environ un million d'années.
Bille : $τ = 1, 9 \times 1 0^{19} s$ , soit $6 \times 1 0^{11}$ années, une quarantaine de fois l'âge de l'Univers ( $1, 4 \times 1 0^{10}$ années).

L'étalement est un effet quantique sans conséquence à l'échelle macroscopique, mais immédiat pour un électron localisé à l'échelle atomique.