Estimation de Heisenberg pour un électron localisé

Particule libre et densité de courant de probabilité · niveau 1 (application)

Énoncé

Un électron est localisé dans une région de la taille d'un atome : on prend pour écart-type de sa position $σ_{x} = 0, 1 nm$ . À l'aide de l'inégalité de Heisenberg spatiale, estimer la dispersion minimale de son impulsion et de sa vitesse, puis l'ordre de grandeur de son énergie cinétique (on supposera l'impulsion moyenne nulle). Une description par une trajectoire classique est-elle pertinente à l'échelle atomique ?

Corrigé

L'inégalité $σ_{x} σ_{p} \geq ℏ/2$ donne

$σ_{p} \geq \frac{ℏ}{2 σ _{x}} = \frac{1 , 055 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 1 \times 1 0 ^{- 10}} \approx 5, 3 \times 1 0^{- 25} kgm / s, σ_{v} = \frac{σ _{p}}{m _{e}} ≳ 5, 8 \times 1 0^{5} m / s .$

L'impulsion moyenne étant nulle, la moyenne de $p^{2}$ vaut $σ_{p}^{2}$ , et l'énergie cinétique moyenne est au moins

$E_{c} \geq \frac{σ _{p}^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 5 , 27 \times 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \times 9 , 109 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 5 \times 1 0^{- 19} J \approx 0, 95 eV,$

l'échelle des énergies atomiques (l'électronvolt). La dispersion de vitesse, près de $6 \times 1 0^{5} m / s$ , est du même ordre que les vitesses mêmes des électrons dans les atomes ( $\sim 1 0^{6} m / s$ ) : on ne peut pas attribuer à l'électron atomique une position et une vitesse précises à la fois, et la notion de trajectoire (d'« orbite ») y perd son sens. Cette énergie minimale imposée par la localisation est l'énergie de confinement, étudiée avec le puits de potentiel.