Longueur d'onde de de Broglie thermique — exercice corrigé de physique quantique (MP) (chapitre 2)

Longueur d'onde de de Broglie thermique

Particule libre et densité de courant de probabilité · niveau 1 (application)

Énoncé

Un neutron ( $m_{n} = 1, 675 \times 1 0^{- 27} kg$ ) a l'énergie cinétique d'agitation thermique $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ à $T = 300 K$ ( $k_{B} = 1, 381 \times 1 0^{- 23} J / K$ ). Calculer sa vitesse, son impulsion et sa longueur d'onde de de Broglie. Pourquoi les neutrons « thermiques » servent-ils à sonder les cristaux ?

Corrigé

$E = \frac{3}{2} \times 1, 381 \times 1 0^{- 23} \times 300 = 6, 21 \times 1 0^{- 21} J$ , soit $39 m eV$ . D'où

$v = \frac{2 E}{m _{n}} = \frac{2 \times 6 , 21 \times 1 0 ^{- 21}}{1 , 675 \times 1 0 ^{- 27}} \approx 2, 72 \times 1 0^{3} m / s, p = m_{n} v \approx 4, 56 \times 1 0^{- 24} kgm / s, λ = \frac{h}{p} = \frac{6 , 626 \times 1 0 ^{- 34}}{4 , 56 \times 1 0 ^{- 24}} \approx 0, 145 nm .$

Le neutron est très lent devant $c$ : le calcul non relativiste est légitime. Sa longueur d'onde est de l'ordre des distances interatomiques ( $0, 1$ à $0, 5 nm$ ) : un cristal le diffracte comme il diffracte les rayons X. Neutre, il pénètre profondément dans la matière et sonde le volume du cristal (là où des électrons lents n'en sondent que la surface) ; et son énergie, quelques dizaines de $m eV$ , est celle des vibrations du réseau, qu'il permet aussi d'étudier.