(MP) Courant d'un faisceau d'électrons — exercice corrigé de physique quantique (MP) (chapitre 2)

(MP) Courant d'un faisceau d'électrons

Particule libre et densité de courant de probabilité · niveau 1 (application)

Énoncé

(MP) Un faisceau d'électrons de $100 eV$ transporte un courant électrique $I = 1 μ A$ . On le décrit par une onde plane $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ , où $∣ A ∣^{2}$ est interprété comme le nombre d'électrons par unité de longueur du faisceau. Calculer le flux d'électrons, leur vitesse, puis $∣ A ∣^{2}$ et la distance moyenne entre deux électrons successifs. Que devient le courant de probabilité si l'on remplace $k$ par $- k$ ?

Corrigé

Le flux d'électrons vaut $Φ = I / e = 1 \times 1 0^{- 6} /1, 602 \times 1 0^{- 19} = 6, 24 \times 1 0^{12} / s$ , et leur vitesse $v = 2 E / m_{e} = 5, 93 \times 1 0^{6} m / s$ . Le courant de probabilité de l'onde plane s'écrit $j = ∣ A ∣^{2} ℏ k / m = ∣ A ∣^{2} v$ (densité $\times$ vitesse) ; interprété comme un flux de particules, $j = Φ$ , d'où

$∣ A ∣^{2} = \frac{Φ}{v} = \frac{6 , 24 \times 1 0 ^{12}}{5 , 93 \times 1 0 ^{6}} \approx 1, 05 \times 1 0^{6} / m .$

Un électron par micromètre de faisceau, environ : plus de dix fois la longueur sur laquelle chaque électron est localisé le long du faisceau (de $10$ à $100 nm$ pour une source usuelle) ; les électrons se suivent sans se recouvrir, et chacun n'interfère qu'avec lui-même. En remplaçant $k$ par $- k$ , $v = ℏ (- k) / m < 0$ et $j < 0$ : le faisceau se propage vers les $x$ décroissants, avec le même flux en valeur absolue. Le signe du courant code le sens de propagation.