(MP) Courant d'une onde incidente et d'une onde réfléchie

Particule libre et densité de courant de probabilité · niveau 2

Énoncé

(MP) Soit $ψ = (A e^{i k x} + B e^{- i k x}) e^{- i ω t}$ (onde incidente et onde réfléchie de même $∣ k ∣$ ). Calculer la densité de courant de probabilité $j (x, t)$ et montrer qu'elle vaut $\frac{ℏ k}{m} (∣ A ∣^{2} - ∣ B ∣^{2})$ , et non la somme des courants. Pourquoi $j$ est-il uniforme alors que $∣ ψ ∣^{2}$ présente des franges ? Que dire du cas $∣ B ∣ = ∣ A ∣$ ?

Corrigé

Avec $φ = A e^{i k x} + B e^{- i k x}$ , le facteur temporel disparaît du produit :

$ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} = (A^{*} e^{- i k x} + B^{*} e^{i k x}) i k (A e^{i k x} - B e^{- i k x}) = i k (∣ A ∣^{2} - ∣ B ∣^{2}) + i k (A B^{*} e^{2 i k x} - A^{*} B e^{- 2 i k x}) .$

Le dernier terme, $A B^{*} e^{2 i k x}$ moins son conjugué, est imaginaire pur ; multiplié par $i k$ , il devient réel et ne contribue pas à la partie imaginaire. Donc

$j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x}) = \frac{ℏ k}{m} (∣ A ∣^{2} - ∣ B ∣^{2}) :$

les termes croisés, responsables des franges de $∣ ψ ∣^{2}$ , ne transportent rien. Le courant net est le courant incident moins le courant réfléchi. Il est uniforme, comme l'impose la conservation locale : l'état est stationnaire, $\frac{\partial ∣ ψ ∣ ^{2}}{\partial t} = 0$ , donc $\frac{\partial j}{\partial x} = 0$ . Pour $∣ B ∣ = ∣ A ∣$ , $j = 0$ : deux flux égaux et opposés, sans que la particule soit liée. C'est le langage de l'étude de la marche de potentiel : $∣ B ∣^{2} / ∣ A ∣^{2}$ y sera le coefficient de réflexion.