Problème : localiser une particule en superposant des ondes planes — l'inégalité de Heisenberg spatiale

La stratégie. On construit la localisation pas à pas : deux ondes donnent des franges, $N$ ondes des pics fins mais périodiques, un spectre continu un pic unique et normalisable. À chaque étape, la largeur spatiale varie comme l'inverse de la largeur spectrale ; le paquet gaussien, calculable exactement, donne le coefficient pour les écarts-types : le cas d'égalité de l'inégalité de Heisenberg.

1) Deux ondes : des franges. $\psi (x,0)=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{0}x}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\delta kx/2}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\delta kx/2})=2A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{0}x}\cos (\delta kx/2)$, donc $$|\psi (x,0){|}^2=4|A{|}^2{\cos }^2\left(\frac{\delta kx}{2}\right)=2|A{|}^2(1+\cos (\delta kx)).$$ Des franges de période $2\pi /\delta k$, toutes égales : la particule est « partout à la fois, par paquets » ; l'intégrale diverge, pas de normalisation. Deux ondes font une modulation, pas une localisation.

2) $N$ ondes : la somme géométrique. Avec $q={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\delta kx}\ne 1$, et en mettant en facteur ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}N\delta kx/2}$ au numérateur, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\delta kx/2}$ au dénominateur (${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }=2\mathrm{i}\sin \theta$) : $$\sum _{j=0}^{N-1}{q}^j=\frac{q^N-1}{q-1}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(N-1)\delta kx/2}\frac{\sin (N\delta kx/2)}{\sin (\delta kx/2)}.$$ Les facteurs de module 1 disparaissent du module au carré, d'où le résultat. Pics principaux : en $x=0$ (et en tout multiple de $2\pi /\delta k$), le quotient tend vers $N^2$ : hauteur $N^2|A{|}^2$, toutes les ondes en phase. Premiers zéros : $x=\pm \frac{2\pi }{N\delta k}=\pm \frac{2\pi }{\Delta k}$ : la demi-largeur d'un pic vaut $2\pi /\Delta k$, inverse de la largeur du spectre. Période : $2\pi /\delta k$. Les pics s'affinent quand $N$ croît, mais se répètent : pas de localisation sur la droite. Lien exact avec l'anneau : un spectre formé des seuls $k_0+j\delta k$ ne contient que des fonctions de période $L=2\pi /\delta k$, les ondes permises sur un anneau de périmètre $L$ ($k_n=2\pi n/L$). Un spectre discret décrit une particule sur un cercle, localisée une fois par tour. (C'est la fonction du réseau de l'optique, inutile ici.)

3) Le continu : un seul pic, normalisable. $$\psi (x,0)=g_0[\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}}{\mathrm{i}x}{]}_{k_0-\Delta k/2}^{k_0+\Delta k/2}=g_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{0}x}\frac{2\sin (\Delta kx/2)}{x},|\psi (x,0){|}^2=4|g_0{|}^2\frac{{\sin }^2(\Delta kx/2)}{x^2},$$ qui tend vers $|g_0{|}^2\Delta k^2$ en $0$. Zéros en $2\pi m/\Delta k$ ($m$ entier non nul) : premiers zéros en $\pm 2\pi /\Delta k$, comme pour $N$ ondes, mais plus de périodicité ($\delta k\to 0$ repousse la période à l'infini). Normalisable : la fonction est continue et $|\psi {|}^2\le 4|g_0{|}^2/x^2$, intégrable à l'infini ; l'intégrale est finie, et l'on choisit $g_0$ pour qu'elle vaille 1. Une superposition continue d'ondes planes, dont aucune n'est normalisable, est normalisable. Zéros en $\pm 1\mathrm{nm}$ : $$\Delta k=\frac{2\pi }{1\mathrm{nm}}=6,28\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1},\frac{\Delta k}{k_0}=12\%,$$ soit des énergies ${\hslash }^2{k}^2/2m_e$ de $88,1$ à $112,6\mathrm{eV}$, plage asymétrique car $E\propto k^2$.

4) Le paquet gaussien. Avec $u=k-k_0$, $\psi (x,0)=g_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{0}x}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2/4{\sigma }_k^2+\mathrm{i}ux}\mathrm{d}u$ ; l'intégrale donnée, avec $a=1/4{\sigma }_k^2$ et $b=x$, vaut $\sqrt{4\pi {\sigma }_k^2}{\mathrm{e}}^{-{\sigma }_k^2{x}^2}$ : $$\psi (x,0)=2\sqrt{\pi }{\sigma }_k{g}_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{0}x}{\mathrm{e}}^{-{\sigma }_k^2{x}^2},|\psi (x,0){|}^2=4\pi {\sigma }_k^2|g_0{|}^2{\mathrm{e}}^{-2{\sigma }_k^2{x}^2}.$$ Vecteur d'onde : $|g{|}^2\propto \exp (-\frac{(k-k_0{)}^2}{2{\sigma }_k^2})$, gaussienne d'écart-type ${\sigma }_k$. Position : ${\mathrm{e}}^{-2{\sigma }_k^2{x}^2}={\mathrm{e}}^{-x^2/2{\sigma }_x^2}$ avec $\frac{1}{2{\sigma }_x^2}=2{\sigma }_k^2$, soit ${\sigma }_x=\frac{1}{2{\sigma }_k}$. Avec ${\sigma }_p=\hslash {\sigma }_k$ : $${\sigma }_x{\sigma }_k=\frac{1}{2},\boxed{{\sigma }_x{\sigma }_p=\frac{\hslash }{2}}.$$ Une gaussienne en $k$ donne une gaussienne en $x$ ; le produit des écarts-types est constant. (Vérification numérique, en sommant les ondes planes pour ${\sigma }_k=0,05$, $0,2$ et $1$ : produit $0,500$ dans les trois cas.)

5) Les définitions des largeurs. Pour le rectangle, $|g{|}^2$ est uniforme sur $\Delta k$ : ${\sigma }_k^2=\frac{1}{\Delta k}{\int }_{-\Delta k/2}^{\Delta k/2}{u}^2\mathrm{d}u=\frac{\Delta k^2}{12}$, fini. Mais $x^2|\psi (x,0){|}^2=4|g_0{|}^2{\sin }^2(\Delta kx/2)$ ne tend pas vers zéro : de valeur moyenne $2|g_0{|}^2$, son intégrale entre $-X$ et $X$ croît comme $4|g_0{|}^{2}X$. ${\sigma }_x$ est infini (calculé sur une fenêtre, il croît comme sa racine) : les queues en $1/x^2$ suffisent. Le produit ${\sigma }_x{\sigma }_k$ est infini, ce qui respecte l'inégalité sans rien dire. Avec la demi-largeur du lobe, $\Delta x=2\pi /\Delta k$, on a $\Delta x\Delta k=2\pi$ ; pour la gaussienne, ${\sigma }_x{\sigma }_k=1/2$. Le coefficient dépend de la forme du spectre et de la définition des largeurs ; la loi $\Delta x\propto 1/\Delta k$ n'en dépend pas. D'où deux énoncés, à ne jamais mélanger :

• pour les écarts-types, ${\sigma }_x{\sigma }_p\ge \frac{\hslash }{2}$ pour tout état (admis), avec égalité pour le paquet gaussien ;
• en ordre de grandeur, $\Delta x\Delta p\sim \hslash$ (ou $h$ selon les largeurs : la fente et le faisceau des exercices 5 et 6 ont donné $h$, avec des largeurs « au premier zéro »).

Écrire « $\Delta x\Delta k\gtrsim 1$, donc $\Delta x\Delta p\gtrsim \hslash /2$ » mélange les deux et donne un coefficient faux.

6) Ordres de grandeur et cas limites. Si ${\sigma }_k\to 0$, ${\sigma }_x\to \infty$ : l'onde plane, non normalisable, est la limite d'un paquet dont on connaît de mieux en mieux l'impulsion. Pour l'électron, ${\sigma }_p=\frac{\hslash }{2{\sigma }_x}$ :

Localisé à l'échelle d'un atome, l'électron de $100\mathrm{eV}$ a une impulsion dispersée de 10 % : la trajectoire précise perd son sens ; au micromètre, l'impulsion est connue à $10^{-5}$ près. Grain de poussière ($m=10^{-9}\mathrm{kg}$, ${\sigma }_x=10^{-6}\mathrm{m}$) : ${\sigma }_v=\frac{\hslash }{2m{\sigma }_x}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\times 10^{-9}\times 10^{-6}}=5\times 10^{-20}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, imperceptible. Enfin, les ondes superposées ont des énergies ${\hslash }^2{k}^2/2m$ différentes : la superposition n'est pas un état stationnaire, $|\psi {|}^2$ évolue. Son déplacement et son étalement ne sont pas étudiés ici ; ils sont traités dans les exercices résolus, selon le programme de chaque classe.

Le résultat obtenu — l'inégalité de Heisenberg spatiale. Une onde plane, d'impulsion déterminée, n'est pas localisée ; une particule ne peut être localisée qu'en superposant des ondes planes de vecteurs d'onde différents, et la largeur spatiale de la superposition varie comme l'inverse de sa largeur spectrale. Pour les écarts-types, ${\sigma }_x{\sigma }_p\ge \hslash /2$, l'égalité étant réalisée par le paquet gaussien ; en ordre de grandeur, $\Delta x\Delta p\sim \hslash$. Une superposition continue est normalisable ; une superposition discrète est périodique.

Ce que l'exercice installe. La construction de la localisation, de deux ondes à une infinité : modulation, puis pics fins mais périodiques (un spectre discret décrit une particule sur un cercle), puis un pic unique et normalisable. La loi $\Delta x\propto 1/\Delta k$, indépendante de la définition des largeurs ; le coefficient ${\sigma }_x{\sigma }_p=\hslash /2$ du paquet gaussien, cas d'égalité. Et la discipline des notations : écarts-types et ordres de grandeur ne se mélangent pas.