Complément hors programme — écarts-types dans un état stationnaire et inégalité de Heisenberg

• ${\phi }_n^2(L-x)={\phi }_n^2(x)$ : la densité est symétrique par rapport à $L/2$, donc $⟨x⟩=L/2$ pour tout $n$. Puis

$${\sigma }_x^2=\frac{2}{L}{L}^3(\frac{1}{6}-\frac{1}{4n^2{\pi }^2})-\frac{L^2}{4}=L^2(\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2{\pi }^2}).$$

Pour $n=1$, ${\sigma }_x=L\sqrt{1/12-1/(2{\pi }^2)}\approx 0,18L$ ; pour $n\to \infty$, ${\sigma }_x\to L/\sqrt{12}\approx 0,29L$, l'écart-type d'une densité uniforme sur $[0,L]$ (limite classique).

• $\sin (k_{n}x)=({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{n}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{n}x})/(2\mathrm{i})$ : deux ondes planes de même amplitude, d'impulsions $\pm p_n$ avec $p_n=h/{\lambda }_n=n\pi \hslash /L$. Une mesure de l'impulsion donne $+p_n$ ou $-p_n$ avec la probabilité $1/2$ : la moyenne est nulle et ${\sigma }_p=p_n=n\pi \hslash /L$. Au fondamental,

$${\sigma }_x{\sigma }_p=\pi \sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2{\pi }^2}}\hslash \approx 0,57\hslash ,$$

à peine au-dessus de la borne $\hslash /2$ : l'état fondamental est presque aussi « resserré » que le permet l'inégalité de Heisenberg. L'image « $\Delta x\sim L$ » de l'estimation du cours surestime la dispersion des positions d'un facteur cinq ; elle suffit pour l'ordre de grandeur de $E_1$, pas pour son préfacteur.