Complément hors programme — valeur moyenne de l'énergie d'une superposition

Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires · niveau 2

Énoncé

Complément : la valeur moyenne n'est pas au programme. On considère $Ψ = c_{1} φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + c_{2} φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ}$ et l'on appelle valeur moyenne de l'énergie la moyenne des résultats de mesure pondérés par leurs probabilités, $⟨ E ⟩ = ∣ c_{1} ∣^{2} E_{1} + ∣ c_{2} ∣^{2} E_{2}$ .

Pour $∣ c_{1} ∣^{2} = 0, 75$ , calculer $⟨ E ⟩$ en unités de $E_{1}$ et montrer qu'elle est indépendante du temps.
Une superposition a pour énergie moyenne $⟨ E ⟩ = 2, 5 E_{1}$ . Déterminer $∣ c_{1} ∣^{2}$ et $∣ c_{2} ∣^{2}$ .

Corrigé

Avec $∣ c_{2} ∣^{2} = 1 - 0, 75 = 0, 25$ et $E_{2} = 4 E_{1}$ :

$⟨ E ⟩ = 0, 75 E_{1} + 0, 25 \times 4 E_{1} = 1, 75 E_{1} .$

Les probabilités $∣ c_{1} ∣^{2}$ , $∣ c_{2} ∣^{2}$ ne dépendent pas du temps (les phases $e^{- i E_{n} t /ℏ}$ ont un module $1$ ), donc $⟨ E ⟩$ est constante : l'énergie moyenne est conservée, conformément au fait que le potentiel ne dépend pas du temps. Aucune mesure ne donne $1, 75 E_{1}$ : chacune donne $E_{1}$ ou $4 E_{1}$ .

$∣ c_{1} ∣^{2} E_{1} + (1 - ∣ c_{1} ∣^{2}) 4 E_{1} = 2, 5 E_{1}$ , soit $4 - 3 ∣ c_{1} ∣^{2} = 2, 5$ et $∣ c_{1} ∣^{2} = ∣ c_{2} ∣^{2} = 1/2$ : la superposition équilibrée, celle dont la densité oscille avec la plus grande amplitude. L'énergie moyenne ne fixe que les modules ; la phase relative de $c_{1}$ et $c_{2}$ , qui fixe l'origine des temps du ballottement, reste libre.