Grands nombres quantiques : la boîte redevient classique

La stratégie. On compare, observable par observable (probabilité d'un intervalle, densité, fréquence rayonnée), la prévision quantique de l'état $n$ à celle d'une particule classique, et l'on regarde comment l'écart dépend de $n$. Chaque écart doit tendre vers zéro quand $n\to \infty$ : c'est la limite de correspondance.

1) Le premier quart. Avec ${\sin }^{2}u=\frac{1}{2}(1-\cos 2u)$, $$P_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L/4}{\sin }^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{L}{\int }_0^{L/4}\left(1-\cos \frac{2n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}-\frac{\sin (n\pi /2)}{2n\pi }.$$ Classiquement, la particule passe le même temps sur chaque longueur $\mathrm{d}x$ (vitesse constante), sa densité est uniforme, $1/L$, et la probabilité du premier quart vaut $\frac{1}{4}$. Quantiquement : $P_1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }=0,091$ (le fondamental se tient au centre, loin des parois) ; $P_3=\frac{1}{4}+\frac{1}{6\pi }=0,303$ ; $P_{101}=\frac{1}{4}-\frac{1}{202\pi }=0,248$. L'écart à la valeur classique vaut au plus $1/(2n\pi )$ : il décroît en $1/n$. Pour $n$ pair, $\sin (n\pi /2)=0$ et $P_n=\frac{1}{4}$ exactement : le quart du puits contient alors un nombre entier de demi-arches de la densité.

2) La densité lissée. ${\phi }_n^2=\frac{1}{L}\left(1-\cos \frac{2n\pi x}{L}\right)$ : une valeur moyenne $1/L$, exactement la densité classique, plus une oscillation de période spatiale $L/n={\lambda }_n/2$, la demi-longueur d'onde de de Broglie. Un détecteur qui ne distingue pas des positions plus proches que $\delta x\gg L/n$ moyenne l'oscillation sur un grand nombre de périodes et ne voit que $1/L$. Pour la bille, $n\approx 3\times 10^{27}$ (question 4) et $L/n\approx 3\times 10^{-29}\mathrm{m}$, à des dizaines d'ordres de grandeur de toute résolution concevable : la densité quantique est indiscernable de la densité classique.

3) La correspondance de Bohr. Quantiquement, $\nu =\frac{E_{n+1}-E_n}{h}=\frac{(2n+1)E_1}{h}=\frac{(2n+1)h}{8m{L}^2}$. Classiquement, la vitesse vaut $v_n=p_n/m=\frac{nh}{2mL}$ (${\lambda }_n=2L/n$), et un aller-retour de longueur $2L$ dure $2L/v_n$ : $$f_n=\frac{v_n}{2L}=\frac{nh}{4m{L}^2},\frac{\nu }{f_n}=\frac{2n+1}{2n}.$$ Le rapport vaut $1,5$ pour $n=1$ (aucun accord), $1,05$ pour $n=10$, $1,005$ pour $n=100$ : pour les grands nombres quantiques, la fréquence rayonnée lors d'un saut quantique tend vers la fréquence du mouvement classique. C'est le principe de correspondance de Bohr ; il guidait la construction de la théorie quantique avant même l'équation de Schrödinger.

4) La bille. $E_1=\frac{h^2}{8m{L}^2}=\frac{(6,626\times 10^{-34}{)}^2}{8\times 10^{-3}\times (0,1{)}^2}=5,5\times 10^{-63}\mathrm{J}$ et $\frac{1}{2}m{v}^2=5\times 10^{-8}\mathrm{J}$, d'où $n=\sqrt{E/E_1}\approx 3,0\times 10^{27}$. L'écart relatif entre deux niveaux voisins vaut $\frac{E_{n+1}-E_n}{E_n}=\frac{2n+1}{n^2}\approx \frac{2}{n}\approx 7\times 10^{-28}$ : le spectre est continu pour toute mesure possible. La bille est un état de très grand $n$, et toutes les prévisions quantiques s'y confondent avec la mécanique classique.

Ce que l'exercice installe. La limite classique se vérifie observable par observable : probabilité d'un intervalle (écart en $1/n$), densité lissée sur ${\lambda }_n/2$, fréquence rayonnée qui rejoint la fréquence du mouvement (rapport $(2n+1)/2n$). Un objet macroscopique est dans un état de nombre quantique colossal : la quantification n'y est pas fausse, elle y est invisible.