L'atome d'hydrogène par l'énergie de confinement

Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires · niveau 2

Énoncé

Un modèle grossier de l'atome d'hydrogène assimile l'électron à une particule confinée dans un puits infini de largeur $L \approx 0, 1 nm$ , de l'ordre du diamètre de l'atome (le rayon de Bohr vaut $a_{0} = 52, 9 pm$ ). Comparer $E_{1}$ à l'énergie d'ionisation réelle $13, 6 eV$ .
On applique la méthode de l'énergie de confinement au puits coulombien $V (r) = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ : l'électron confiné à la distance $a$ du noyau a l'énergie $E (a) \approx \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} a ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} a}$ . Déterminer la taille $a^{*}$ et l'énergie $E (a^{*})$ du fondamental. Commenter.

On donne $ε_{0} = 8, 854 \times 1 0^{- 12} F / m$ .

Corrigé

On a calculé $E_{1} \approx 38 eV$ pour $L = 0, 1 nm$ . C'est du même ordre de grandeur (à un facteur $\sim 3$ près) que l'énergie d'ionisation : le confinement à l'échelle atomique impose des énergies de quelques dizaines d'eV. Mais le modèle ne dit pas d'où vient le confinement : il n'y a ni potentiel coulombien ni énergie de liaison, seulement une énergie cinétique positive.
Le terme cinétique décroît avec $a$ , le terme coulombien croît (il est négatif et tend vers $0$ ) : $E (a)$ a un minimum.

$\frac{d E}{d a} = - \frac{ℏ ^{2}}{m _{e} a ^{3}} + \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} a ^{2}} = 0 ⟹ a^{*} = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} = 52, 9 pm = a_{0} .$

Au minimum, $ℏ^{2} / (m_{e} a^{*}) = e^{2} / (4 π ε_{0})$ , donc le terme cinétique vaut la moitié du terme coulombien, au signe près, et

$E (a^{*}) = - \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} a _{0}} = - \frac{( 1 , 602 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}}{8 π \times 8 , 854 \times 1 0 ^{- 12} \times 52 , 9 \times 1 0 ^{- 12}} \approx - 2, 18 \times 1 0^{- 18} J = - 13, 6 eV .$

La méthode redonne exactement le rayon de Bohr et l'énergie d'ionisation, ce qui tient de la coïncidence : les préfacteurs ( $p \sim ℏ/ a$ , distance $a$ au lieu d'une moyenne sur la densité, problème à trois dimensions traité comme à une) ne sont pas contrôlés, et pour l'oscillateur harmonique la même méthode se trompe d'un facteur $2$ . Ce qu'elle établit sûrement, c'est l'échelle : la taille de l'atome naît du compromis entre l'énergie de confinement, qui l'élargit, et l'attraction du noyau, qui le contracte. Sans la première, l'électron tomberait sur le noyau.