physique quantique (MPI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le noyau comme une boîte : des MeV pour les nucléons, pas de place pour un électron

Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires · C. Propriétés physiques des états stationnaires · niveau 2

Énoncé

On modélise grossièrement un noyau léger par un puits infini de largeur $L = 5 fm$ ( $1 fm = 1 0^{- 15} m$ ). Données : masse d'un nucléon $m_{N} = 1, 675 \times 1 0^{- 27} kg$ , $m_{N} / m_{e} = 1836$ ; énergie de liaison par nucléon des noyaux, environ $8 MeV$ ; profondeur du puits de potentiel nucléaire, environ $40 MeV$ ; énergie des électrons émis par les noyaux radioactifs $β$ , de l'ordre du $MeV$ ; énergie de masse de l'électron $m_{e} c^{2} = 0, 511 MeV$ . Pour une particule ultra-relativiste, on admet que l'énergie s'écrit $E \approx p c$ (relation fournie, hors programme).

1) Calculer l'énergie de confinement $E_{1}$ d'un nucléon dans ce noyau, en $MeV$ . La comparer à l'énergie de liaison par nucléon, puis à l'énergie $E_{1}$ d'un électron confiné dans un atome ( $L = 0, 1 nm$ , $37, 6 eV$ ) : d'où vient le facteur ?

2) Les noyaux émettent des photons $γ$ d'énergie typique $1 MeV$ . Calculer leur longueur d'onde.

3) Un proton et un électron sont confinés dans le même puits : quel est le rapport de leurs énergies de confinement ?

4) Avant la découverte du neutron (1932), on imaginait le noyau fait de protons et d'électrons. Calculer, avec la formule du puits, l'énergie de confinement d'un électron dans le noyau. La comparer à $m_{e} c^{2}$ et calculer la vitesse $p / m_{e}$ correspondante : la formule est-elle applicable ? Reprendre l'estimation avec $p = h / λ_{1}$ , $λ_{1} = 2 L$ et $E \approx p c$ . Conclure.

Corrigé

La stratégie. Une seule loi d'échelle, $E_{1} = h^{2} / (8 m L^{2})$ , appliquée sur vingt ordres de grandeur ; on contrôle à chaque fois son domaine de validité, ici la condition non relativiste $E_{1} ≪ m c^{2}$ , et l'on change de relation énergie-impulsion quand elle tombe en défaut.

1) Des MeV. Pour un nucléon, $E_{1} = \frac{h ^{2}}{8 m _{N} L ^{2}} = \frac{( 6 , 626 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{8 \times 1 , 675 \times 1 0 ^{- 27} \times ( 5 \times 1 0 ^{- 15} ) ^{2}} = 1, 31 \times 1 0^{- 12} J = 8, 2 MeV .$ C'est l'ordre de grandeur de l'énergie de liaison par nucléon, $8 MeV$ : les énergies nucléaires sont des énergies de confinement à l'échelle du femtomètre. Le passage de l'électron-volt atomique au mégaélectronvolt nucléaire tient à deux facteurs : la masse, $m_{e} / m_{N} = 1/1836$ , et le carré du rapport des tailles, $(0, 1 nm /5 fm)^{2} = 4 \times 1 0^{8}$ . Leur produit, $2, 2 \times 1 0^{5}$ , est bien le rapport $8, 2 MeV /37, 6 eV$ . La taille l'emporte de loin sur la masse.

2) Les photons $γ$ . $λ = \frac{h c}{E} = \frac{1240 eV nm}{1 0 ^{6} eV} = 1, 24 \times 1 0^{- 3} nm = 1, 24 pm$ , cent mille fois moins que la lumière visible : les transitions entre niveaux de confinement nucléaires émettent dans le domaine $γ$ .

3) Proton et électron. À $L$ fixée, $E_{1} \propto 1/ m$ : l'électron a une énergie de confinement $1836$ fois plus grande que le proton. La particule légère paie le confinement le plus cher.

4) Pas d'électron dans le noyau. La formule du puits donne, pour un électron, $E_{1} = \frac{h ^{2}}{8 m _{e} L ^{2}} = 1836 \times 8, 2 MeV \approx 1, 5 \times 1 0^{4} MeV = 15 GeV,$ trente mille fois l'énergie de masse $m_{e} c^{2} = 0, 511 MeV$ . Et la vitesse correspondante, $p / m_{e} = h / (2 m_{e} L) = 7 \times 1 0^{10} m s^{- 1}$ , dépasserait celle de la lumière. La formule $E = p^{2} / (2 m)$ , non relativiste, est hors de son domaine : le résultat n'a pas de sens physique. On garde la seule hypothèse robuste, la relation de de Broglie : $p = h / λ_{1} = h / (2 L)$ , et l'on prend la relation ultra-relativiste fournie, $E \approx p c = \frac{h c}{2 L} = \frac{1240 MeV fm}{10 fm} = 124 MeV .$ C'est trois fois la profondeur du puits nucléaire ( $40 MeV$ ) : un électron ne peut pas y être lié. Et s'il en sortait, ce serait avec une centaine de MeV, alors que les électrons $β$ en ont de l'ordre de $1$ . L'électron $β$ n'est donc pas contenu dans le noyau : il est créé au moment de la désintégration. C'est l'un des arguments qui ont fait abandonner le modèle proton-électron du noyau.

Ce que l'exercice installe. La loi d'échelle $E_{1} \sim h^{2} / (8 m L^{2})$ range les énergies de la matière, du meV des nanostructures au MeV des noyaux ; la taille du confinement domine. Et le réflexe de vérifier le domaine de validité d'une formule : quand l'énergie de confinement dépasse l'énergie de masse, on garde la relation de de Broglie et l'on change de relation énergie-impulsion.

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