Orthogonalité et normalisation des états stationnaires

Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Vérifier par le calcul que les fonctions $φ_{n} (x) = 2/ L sin (nπ x / L)$ sont normalisées, puis que $φ_{p}$ et $φ_{q}$ sont orthogonales pour $p \neq = q$ (on traitera d'abord $p = 1$ , $q = 2$ ). Quelle propriété des superpositions cette orthonormalité justifie-t-elle ?

Corrigé

Normalisation. Avec $sin^{2} u = \frac{1}{2} (1 - cos 2 u)$ ,

$\int_{0}^{L} \frac{2}{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) d x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} (1 - cos \frac{2 nπ x}{L}) d x = 1 - \frac{1}{L} [\frac{L}{2 nπ} sin \frac{2 nπ x}{L}]_{0}^{L} = 1,$

pour tout $n \in N^{*}$ : le cosinus s'intègre sur un nombre entier de périodes.

Orthogonalité. On linéarise $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$ :

$\int_{0}^{L} φ_{p} φ_{q} d x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} [cos \frac{( p - q ) π x}{L} - cos \frac{( p + q ) π x}{L}] d x = \frac{sin ( ( p - q ) π )}{( p - q ) π} - \frac{sin ( ( p + q ) π )}{( p + q ) π} = 0,$

puisque $p - q$ et $p + q$ sont des entiers non nuls. Pour $p = 1$ , $q = 2$ : on intègre $cos (π x / L)$ et $cos (3 π x / L)$ sur une, resp. trois demi-périodes, et les deux intégrales sont nulles. Les $φ_{n}$ forment donc une famille orthonormée. C'est ce qui fait disparaître les termes croisés dans $\int_{0}^{L} ∣ c_{1} φ_{1} + c_{2} φ_{2} ∣^{2} d x$ : la normalisation d'une superposition se réduit à $∣ c_{1} ∣^{2} + ∣ c_{2} ∣^{2} = 1$ , et ces deux nombres s'interprètent comme des probabilités.