Probabilité de présence sur une partie du puits

Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires · niveau 2

Énoncé

Dans l'état fondamental $φ_{1}$ , quelle est la probabilité de trouver la particule dans la première moitié du puits $[0, L /2]$ ? Dans le tiers central $[L /3, 2 L /3]$ ?
Dans l'état $φ_{2}$ , calculer la probabilité de trouver la particule dans $[0, L /2]$ , puis dans $[0, L /3]$ . Commenter le rôle du nœud en $x = L /2$ .

Pour un intervalle $[a, b]$ et l'état $φ_{n}$ , avec $sin^{2} u = \frac{1}{2} (1 - cos 2 u)$ ,

$P = \frac{2}{L} \int_{a}^{b} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) d x = [\frac{x}{L} - \frac{1}{2 nπ} sin (\frac{2 nπ x}{L})]_{a}^{b} .$

Par symétrie de $φ_{1}^{2}$ autour de $L /2$ , la probabilité sur $[0, L /2]$ vaut exactement $1/2$ . Sur le tiers central, $P = \frac{1}{3} - \frac{1}{2 π} (sin \frac{4 π}{3} - sin \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2 π} \approx 0, 61$ , contre $1/3$ pour une densité uniforme : la particule est concentrée au centre.
$φ_{2} (L - x) = - φ_{2} (x)$ , donc $φ_{2}^{2}$ est symétrique par rapport au centre et la probabilité sur $[0, L /2]$ vaut encore exactement $1/2$ . Sur $[0, L /3]$ , $P = \frac{1}{3} - \frac{1}{4 π} sin \frac{4 π}{3} = \frac{1}{3} + \frac{3}{8 π} \approx 0, 40$ : plus que $1/3$ , car l'intervalle contient le ventre de gauche, en $x = L /4$ . La densité est nulle au nœud $x = L /2$ : la particule n'y est jamais détectée, et pourtant on la trouve avec la même probabilité de part et d'autre. Il n'y a pas de paradoxe : un état stationnaire ne décrit pas une trajectoire qui devrait « traverser » le nœud, mais une répartition de probabilité figée.