Cône plein homogène — exercice corrigé de sciences industrielles (PSI) (chapitre 1)

Cône plein homogène

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · niveau 2

Énoncé

Un cône plein homogène de masse $m$ , de rayon de base $R$ et de hauteur $h$ a pour axe $(O, e_{z})$ et son sommet en $O$ . Déterminer la cote $z_{G}$ de son centre d'inertie, son moment d'inertie $C$ autour de son axe, puis son moment d'inertie $A$ autour d'un axe perpendiculaire à son axe, mené par $O$ , puis par $G$ .

Corrigé

On découpe le cône en disques minces d'épaisseur $d z$ : à la cote $z \in [0, h]$ , le disque a pour rayon $r (z) = \frac{R}{h} z$ et pour masse $d m = ρ π r (z)^{2} d z$ ; d'où $m = ρ π \frac{R ^{2}}{h ^{2}} \int_{0}^{h} z^{2} d z = \frac{1}{3} ρ π R^{2} h$ . Par symétrie de révolution, $G$ est sur l'axe, et

$z_{G} = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} z d m = \frac{3}{h ^{3}} \int_{0}^{h} z^{3} d z = \frac{3}{4} h .$

Le centre d'inertie est du côté de la base, où est la matière. Chaque disque a pour moment autour de l'axe $\frac{1}{2} r (z)^{2} d m$ (formulaire) : $C = \frac{1}{2} ρ π \frac{R ^{4}}{h ^{4}} \int_{0}^{h} z^{4} d z = \frac{1}{10} ρ π R^{4} h = \frac{3}{10} m R^{2}$ . Autour d'un axe perpendiculaire à l'axe du cône mené par $O$ , chaque disque contribue par son moment autour d'un diamètre, $\frac{1}{4} r^{2} d m$ , transporté de la distance $z$ (Huygens) :

$A (O) = \int_{0}^{h} (\frac{r ( z ) ^{2}}{4} + z^{2}) d m = ρ π (\frac{R ^{4}}{4 h ^{4}} + \frac{R ^{2}}{h ^{2}}) \frac{h ^{5}}{5} = \frac{3}{20} m (R^{2} + 4 h^{2}) .$

Enfin, par Huygens de $O$ vers $G$ (on retranche $m z_{G}^{2}$ ) : $A (G) = \frac{3}{20} m R^{2} + \frac{3}{5} m h^{2} - \frac{9}{16} m h^{2} = \frac{3}{80} m (4 R^{2} + h^{2})$ . Pour $h = R$ : $C = 0, 30 m R^{2}$ et $A (G) = 0, 1875 m R^{2}$ ; l'inégalité $A + A \geq C$ est vérifiée.