sciences industrielles (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Mesurer l'inertie d'une bielle sans connaître son centre d'inertie

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · D. Théorème de transport de Huygens · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour le modèle dynamique d'un moteur, on a besoin du moment d'inertie $J_{G}$ d'une bielle autour de l'axe perpendiculaire à son plan mené par son centre d'inertie $G$ , à $\pm 2 %$ près. La bielle a pour masse $m = 0, 600 kg$ et pour entraxe $ℓ = 150 mm$ (distance entre l'axe du pied et l'axe de la tête) ; $G$ est sur le segment qui joint ces deux axes, à une distance $d_{p}$ inconnue de l'axe du pied. On la suspend sur un couteau horizontal, successivement par l'alésage du pied (pivot à la distance $d_{p}$ de $G$ ), puis par celui de la tête (distance $d_{t} = ℓ - d_{p}$ ), et on la fait osciller faiblement. Donnée (mécanique de première année) : la période des petites oscillations d'un pendule pesant de moment d'inertie $J_{O}$ autour de l'axe de suspension, dont le centre d'inertie est à la distance $d$ de cet axe, vaut $T = 2 π \frac{J _{O}}{m g d}$ ; on pose $L = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}} = \frac{J _{O}}{m d}$ , longueur du pendule simple synchrone. Mesures au chronomètre (précision $0, 01 s$ ), $g = 9, 81 m s^{- 2}$ : vingt oscillations durent $14, 66 s$ par le pied et $13, 41 s$ par la tête.

1) Pourquoi ne peut-on pas suspendre la bielle par $G$ ? Écrire, à l'aide du théorème de Huygens, les deux relations entre $L_{1}$ (pied), $L_{2}$ (tête), $d_{p}$ , $d_{t}$ et $J_{G}$ .

2) Montrer que $d_{p}$ est solution d'une équation linéaire ; calculer $d_{p}$ puis $J_{G}$ , et le rayon de giration $k = J_{G} / m$ .

3) Un opérateur pressé calcule le moment d'inertie autour de l'axe de la tête par « $J_{t e ˆ te} = J_{pied} + m ℓ^{2}$ ». Quel facteur d'erreur commet-il ?

4) Chaque durée de vingt oscillations est connue à $\pm 0, 01 s$ . Encadrer $J_{G}$ ; l'exigence de $\pm 2 %$ est-elle tenue ? Pourquoi mesurer vingt oscillations plutôt qu'une ?

5) Cas limite. Que devient la méthode si $L_{1} + L_{2} = 2 ℓ$ ? Montrer qu'alors les deux périodes sont égales et que $L_{1} = L_{2} = ℓ$ (pendule réversible de Kater).

6) Validation d'un modèle. Les motoristes remplacent souvent la bielle par deux masses ponctuelles, l'une sur l'axe du pied, l'autre sur l'axe de la tête, qui conservent $m$ et $G$ . Calculer ces masses et le moment d'inertie de ce modèle autour de $G$ . Pour quoi ce modèle est-il valable, et pour quoi ne l'est-il pas ?

Corrigé

La stratégie. Chaque suspension donne un moment d'inertie autour d'un axe qui ne passe pas par $G$ ; Huygens, appliqué depuis $G$ vers chacun des deux axes, fournit deux équations à deux inconnues, $J_{G}$ et $d_{p}$ , que l'on rend linéaires en éliminant $J_{G}$ .

1) Deux équations. Suspendue par $G$ , la bielle serait en équilibre indifférent : pas de couple de rappel ( $d = 0$ ), pas d'oscillation. Par Huygens, $J_{pied} = J_{G} + m d_{p}^{2}$ et $J_{t e ˆ te} = J_{G} + m d_{t}^{2}$ . Avec $L = J_{O} / (m d)$ : $L_{1} d_{p} = \frac{J _{G}}{m} + d_{p}^{2}, L_{2} d_{t} = \frac{J _{G}}{m} + d_{t}^{2}, d_{p} + d_{t} = ℓ .$

2) Résolution. On élimine $J_{G} / m$ : $L_{1} d_{p} - d_{p}^{2} = L_{2} (ℓ - d_{p}) - (ℓ - d_{p})^{2}$ . Les termes en $d_{p}^{2}$ se détruisent : $d_{p} (L_{1} + L_{2} - 2 ℓ) = ℓ (L_{2} - ℓ), d_{p} = \frac{ℓ ( L _{2} - ℓ )}{L _{1} + L _{2} - 2 ℓ} .$ Mesures : $T_{1} = 14, 66/20 = 0, 7330 s$ et $T_{2} = 13, 41/20 = 0, 6705 s$ , d'où $L_{1} = \frac{9 , 81 \times 0 , 733 0 ^{2}}{4 π ^{2}} = 133, 5 mm$ et $L_{2} = 111, 7 mm$ . Puis $d_{p} = \frac{150 \times ( 111 , 7 - 150 )}{133 , 5 + 111 , 7 - 300} = \frac{150 \times ( - 38 , 3 )}{- 54 , 8} = 104, 8 mm, d_{t} = 45, 2 mm,$ $J_{G} = m d_{p} (L_{1} - d_{p}) = 0, 600 \times 0, 1048 \times 0, 0287 = 1, 80 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2},$ $k = J_{G} / m = 54, 8 mm .$ Le centre d'inertie est du côté de la tête, plus massive : cohérent. La seconde équation donne la même valeur (contrôle). La figure trace $L (d) = k^{2} / d + d$ : les deux suspensions sont deux points de la même courbe, de part et d'autre de son minimum $L = 2 k$ , atteint pour $d = k$ .

3) Le piège du transport direct. $J_{pied} = J_{G} + m d_{p}^{2} = 1, 80 \cdot 1 0^{- 3} + 0, 6 \times 0, 104 8^{2} = 8, 40 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2}$ . Le transport direct donne $8, 40 \cdot 1 0^{- 3} + 0, 6 \times 0, 1 5^{2} = 2, 19 \cdot 1 0^{- 2}$ , alors que le vrai $J_{t e ˆ te} = J_{G} + m d_{t}^{2} = 3, 03 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2}$ : 7,2 fois trop. Huygens part de $G$ ou y arrive ; pour aller du pied à la tête, on retranche $m d_{p}^{2}$ puis on ajoute $m d_{t}^{2}$ .

4) Incertitude. On refait le calcul aux quatre combinaisons $14, 66 \pm 0, 01$ et $13, 41 \pm 0, 01 s$ : $J_{G}$ varie de $- 0, 6 %$ à $+ 0, 6 %$ . Conforme à l'exigence de $\pm 2 %$ , avec une marge d'un facteur 3. Mesurer vingt périodes divise par vingt l'erreur relative de chronométrage sur $T$ (l'erreur de déclenchement est commise une fois, pas vingt).

5) Cas limite. Si $L_{1} + L_{2} = 2 ℓ$ , le coefficient de $d_{p}$ s'annule : l'équation devient $0 = ℓ (L_{2} - ℓ)$ , ce qui impose $L_{2} = ℓ$ puis $L_{1} = ℓ$ ; les deux périodes sont égales. Le système est alors singulier : $d_{p}$ est indéterminé et la méthode ne donne plus $J_{G}$ . C'est le pendule réversible de Kater : quand les périodes par les deux couteaux sont égales, la distance entre couteaux est la longueur synchrone, et la mesure de $T$ donne $g$ avec précision.

6) Le modèle à deux masses. Conserver $m$ et $G$ impose $m_{p} + m_{t} = m$ et $m_{p} d_{p} = m_{t} d_{t}$ : $m_{p} = m d_{t} / ℓ = 0, 18 kg$ au pied, $m_{t} = m d_{p} / ℓ = 0, 42 kg$ à la tête. Son moment d'inertie en $G$ vaut $m_{p} d_{p}^{2} + m_{t} d_{t}^{2} = m d_{p} d_{t} = 0, 6 \times 0, 1048 \times 0, 0452 = 2, 84 \cdot 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2}$ , soit +57 %. Le modèle est exact pour tout ce qui ne dépend que de $m$ et de $G$ (résultante des forces d'inertie, équilibrage des forces alternatives) ; il est faux pour les couples d'inertie autour de $G$ .

Ce que l'exercice installe. Huygens toujours par $G$ ; un problème d'identification se résout en écrivant les relations de transport depuis $G$ et en éliminant l'inconnue qui rend le système non linéaire. On vérifie qu'une mesure respecte l'exigence par sa sensibilité, et l'on reconnaît les configurations singulières. Un modèle simplifié se valide sur la grandeur qu'il doit prédire : deux masses suffisent pour les forces, pas pour les couples.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

17 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 7 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →