Pourquoi les éoliennes ont trois pales : la symétrie d'ordre 3

La stratégie. On transporte la donnée constructeur de l'emplanture vers $O$ en passant par $G$ ; on lit la forme de la matrice du rotor sur sa symétrie d'ordre 3, sans intégrer ; puis on calcule l'inertie autour d'un axe vertical qui tourne, par rapport au rotor, d'un angle $\psi$.

1) Transport par $G$. Huygens ne relie un axe quelconque qu'à l'axe parallèle mené par $G$. Le centre d'inertie de la pale est à $L/3=18,33\mathrm{m}$ de l'emplanture, donc à $d=r_0+L/3=20,33\mathrm{m}$ de $O$. D'abord, de l'emplanture vers $G$ : $$J_G=J_e-m{\left(\frac{L}{3}\right)}^2=m{L}^2\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{9}\right)=\frac{m{L}^2}{18}=\frac{13000\times 55^2}{18}=2,185\cdot 10^6\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,$$ puis de $G$ vers $O$ : $$J=J_G+m{d}^2=2,185\cdot 10^6+13000\times 20,33^2=7,56\cdot 10^6\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2.$$ Le raccourci « $J_e+m{r}_0^2$ » transporterait d'un axe qui ne passe pas par $G$ et donnerait $6,61\cdot 10^6$, soit 13 % de moins.

2) La symétrie d'ordre 3. Écrivons la matrice en $O$ par blocs : $S=\left(\begin{array}{cc}A& -F\\ -F& B\end{array}\right)$ pour le plan $(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$, le vecteur colonne $w=\left(\begin{array}{c}-E\\ -D\end{array}\right)$, et $C$. La rotation autour de $\overrightarrow{z}$ s'écrit $R=\left(\begin{array}{cc}{R}_2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, avec $R_2$ la rotation plane d'angle $2\pi /3$. L'invariance $[I]=R[I]R^{\mathsf{T}}$ donne $R_{2}w=w$ et $R_{2}S{R}_2^{\mathsf{T}}=S$. Une rotation d'angle $2\pi /3$ n'a aucun vecteur fixe non nul : $w=0$, donc $D=E=0$. Ensuite $S$ commute avec $R_2$ : $R_2$ conserve donc chaque sous-espace propre de $S$. Si $S$, symétrique réelle, avait deux valeurs propres distinctes, ses sous-espaces propres seraient deux droites orthogonales, et une rotation de $120^{\circ }$ ne conserve aucune droite du plan ; les deux valeurs propres sont donc égales, c'est-à-dire $S=A\mathrm{Id}$ : $A=B$ et $F=0$. Le rotor étant plan ($z=0$ pour tous ses points), $C=\iiint (x^2+y^2)\mathrm{d}m=A+B$, d'où $A=B=C/2$. Chaque pale, perpendiculaire à l'axe du rotor, contribue $J$ à $C$ ; le moyeu, en $O$, ne contribue pas : $$C=3J=2,27\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,A=B=\frac{C}{2}=1,13\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2.$$

3) L'inertie vue par l'orientation. Une pale faisant l'angle $\alpha$ avec la verticale a, autour de l'axe vertical $(O,\overrightarrow{x})$, le moment $J{\sin }^2\alpha$ (chaque point à la distance $s$ de $O$ est à la distance $s|\sin \alpha |$ de l'axe). Pour le tripale : $$I_x(\psi )=J\left[{\sin }^2\psi +{\sin }^2\left(\psi +\frac{2\pi }{3}\right)+{\sin }^2\left(\psi +\frac{4\pi }{3}\right)\right]=\frac{3J}{2}=1,13\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,$$ indépendant de $\psi$ : la somme des trois cosinus de $2\psi +4k\pi /3$ est nulle. C'est la question 2 vue autrement : $A=B$ signifie que tout axe du plan passant par $O$ donne le même moment. Pour le bipale, $I_x(\psi )=J\left[{\sin }^2\psi +{\sin }^2(\psi +\pi )\right]=2J{\sin }^2\psi$, qui varie de $0$ (pales verticales) à $2J=1,51\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ (pales horizontales), deux fois par tour. L'axe de lacet est parallèle à $(O,\overrightarrow{x})$ à $\delta =5\mathrm{m}$ ; le rotor ayant son centre d'inertie en $O$, Huygens ajoute $m_{\text{rotor}}{\delta }^2$, constant : $69000\times 25=1,73\cdot 10^6$ (tripale), $56000\times 25=1,40\cdot 10^6$ (bipale). Inertie vue par l'orientation :

• tripale : $3,5\cdot 10^6+1,73\cdot 10^6+1,13\cdot 10^7=1,66\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, constante : conforme ;
• bipale : $4,9\cdot 10^6+1,51\cdot 10^7{\sin }^2\psi$, de $4,9\cdot 10^6$ à $2,0\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ : un rapport de 4, non conforme.

4) L'axe d'ordre 2. Le bipale est invariant par la rotation d'angle $\pi$ autour de $(O,\overrightarrow{z})$, qui envoie $(x,y,z)$ sur $(-x,-y,z)$ : les intégrandes $xz$ et $yz$ changent de signe, $D=E=0$ ; mais $xy$, $x^2$, $y^2$ sont conservés, et rien n'oblige $A=B$. Dans le langage de la question 2 : $R_2=-\mathrm{Id}$ commute avec toute matrice $S$. Un axe de symétrie d'ordre 2 fait le travail d'un plan de symétrie pour les deux produits qui contiennent la coordonnée de l'axe, et il est axe principal ; seul un axe d'ordre $n\ge 3$ impose en plus l'égalité des deux autres moments. Pales selon $\overrightarrow{x}$, le bipale a $A=0$ et $B=2J$.

5) Rotor conique. Pour une pale rectiligne passant par $O$, de direction $\overrightarrow{e}$, chaque point est à la distance $s$ de $O$ et à la distance $s\Vert \overrightarrow{e}\wedge \overrightarrow{u}\Vert$ de l'axe $(O,\overrightarrow{u})$ ; donc $I_{(O,\overrightarrow{u})}=\Vert \overrightarrow{e}\wedge \overrightarrow{u}{\Vert }^2\int s^2\mathrm{d}m=J\left[1-(\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{u}{)}^2\right]$, où $\int s^2\mathrm{d}m=J$ est la donnée de la question 1 (moment autour d'un axe perpendiculaire à la pale). Avec ${\overrightarrow{e}}_k=\cos \beta (\cos {\phi }_k\overrightarrow{x}+\sin {\phi }_k\overrightarrow{y})+\sin \beta \overrightarrow{z}$ et ${\phi }_k={\phi }_1+2k\pi /3$ : $$C=\sum _{k}J(1-{\sin }^2\beta )=3J{\cos }^2\beta =2,257\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,$$ $$A=\sum _{k}J\left(1-{\cos }^2\beta {\cos }^2{\phi }_k\right)=J\left(3-\frac{3}{2}{\cos }^2\beta \right)=1,139\cdot 10^7\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,$$ et le même calcul avec $\sin {\phi }_k$ donne $B=A$. Le rotor n'est plus plan : $C<A+B$ ($2,257\cdot 10^7<2,279\cdot 10^7$), mais $A=B$ demeure : c'est la symétrie d'ordre 3, pas la planéité, qui l'impose (la démonstration de la question 2 n'a jamais utilisé $z=0$). Quatre pales : la rotation de $90^{\circ }$ ne conserve, elle non plus, aucune droite du plan : $A=B$ encore.

Ce que l'exercice installe. La forme d'une matrice se lit sur les symétries : un plan ou un axe d'ordre 2 annule deux produits ; un axe d'ordre $n\ge 3$ impose en plus $A=B$ et rend tout axe perpendiculaire principal. Un solide plan vérifie $C=A+B$. Huygens se fait toujours par $G$. Et une exigence d'ingénieur (inertie de lacet constante) se ramène à une propriété de la matrice ($A=B$), c'est-à-dire à une symétrie : c'est la raison des trois pales.