Théorème de Huygens pour un axe

Par définition, $I_{\Delta }=\overrightarrow{u}\cdot [I(A)]\overrightarrow{u}$. Avec Huygens, $[I(A)]=[I(G)]+[I(A,G,m)]$ ; la matrice d'un point de masse $m$ en $G$ représente l'opérateur $\overrightarrow{u}\mapsto m\overrightarrow{AG}\wedge (\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AG})$, d'où

$$\overrightarrow{u}\cdot [I(A,G,m)]\overrightarrow{u}=m(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AG})\cdot (\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AG})=m{\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AG}\Vert }^2=m{d}^2,$$

où $d=\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{AG}\Vert$ est la distance entre les deux axes parallèles. Donc $I_{\Delta }=I_{{\Delta }_G}+m{d}^2$ : de tous les axes de direction $\overrightarrow{u}$, celui qui passe par $G$ a le plus petit moment.