Allongement élastique d'un câble de levage

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · niveau 1 (application)

Énoncé

Un câble d'acier toronné de section métallique $S = 120 m m^{2}$ et de longueur $L = 40 m$ soulève une masse $M = 2000 kg$ ( $g = 9, 81 m / s^{2}$ ). Son module apparent vaut $E_{c} = 100 G Pa$ : la moitié du module de l'acier ( $200 G Pa$ ), parce que les torons se resserrent en s'allongeant. Calculer la contrainte dans les fils et l'allongement élastique $Δ L$ du câble. Que trouverait-on avec le module de l'acier ?

Corrigé

Effort normal (PFS sur la charge immobile, poids du câble négligé) : $N = M g = 2000 \times 9, 81 = 19620 N$ , d'où $σ = \frac{N}{S} = \frac{19 620}{120} = 163, 5 M Pa$ .

$Δ L = \frac{N L}{E _{c} S} = \frac{19 620 \times 40}{( 100 \times 1 0 ^{9} ) \times ( 120 \times 1 0 ^{- 6} )} = 0, 0654 m = 65, 4 mm .$

Avec le module de l'acier, on trouverait $32, 7 mm$ : la moitié. Un câble n'est pas une barre pleine ; prendre $E = 200 G Pa$ sous-estime de moitié son allongement, et donc les déplacements de la charge au démarrage du levage.

Énoncé

Corrigé

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