sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Arbre de transmission de pompe : la rigidité de torsion dimensionne

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · A. Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples · niveau 2

Énoncé

Un moteur électrique de $132 kW$ , tournant à $1480 tr/min$ , entraîne une pompe centrifuge par un arbre plein en acier, de longueur $1, 5 m$ entre l'accouplement et la roue de la pompe, guidé par deux paliers. Données : module de cisaillement $G = 80 GPa$ , résistance pratique au glissement $R_{p g} = 60 MPa$ ( $R_{e g} = 180 MPa$ , $s = 3$ ). Relations du cours : $τ_{m a x} = \frac{16 M _{t}}{π d ^{3}}$ , $θ = \frac{M _{t} L}{G I _{0}}$ avec $I_{0} = \frac{π d ^{4}}{32}$ ; pour un arbre creux de diamètres $D$ et $d_{i}$ (donné) : $I_{0} = \frac{π ( D ^{4} - d _{i}^{4} )}{32}$ et $τ_{m a x} = \frac{M _{t} D}{2 I _{0}}$ . Exigences : résistance, $τ_{m a x} \leq R_{p g}$ ; rigidité (donnée de l'énoncé), angle de torsion par unité de longueur $θ^{'} = θ / L \leq 0, 2 5^{\circ} m^{- 1}$ .

1) Calculer le couple transmis $M_{t}$ . Par le PFS appliqué au tronçon d'arbre compris entre l'accouplement et une section quelconque, montrer que le moment de torsion est le même dans toute section (frottements des paliers négligés).

2) Critère de résistance : diamètre minimal. Pour un arbre de $45 mm$ , calculer l'angle unitaire de torsion et conclure.

3) Critère de rigidité : diamètre minimal. Vérifier un arbre de $70 mm$ , puis de $75 mm$ . Quel est le rapport des deux diamètres minimaux ? Que vaut la contrainte dans l'arbre retenu ?

4) Prolongement : un arbre creux de rapport $d_{i} / D = 0, 6$ et de même rigidité. Diamètre extérieur, gain de masse, contrainte maximale.

5) Cas limite : montrer que, lorsque la rigidité est tout juste respectée, $τ_{m a x} = \frac{G θ _{adm}^{'} d}{2}$ . En déduire le diamètre en dessous duquel c'est toujours la rigidité qui décide, pour cet acier et cette exigence.

Corrigé

La stratégie. Le couple vient de la puissance ; le PFS sur un tronçon montre qu'il se transmet sans changer d'une section à l'autre ; puis deux critères donnent deux diamètres minimaux. On compare, on choisit, et l'on cherche dans quel domaine l'un des critères domine l'autre.

1) Couple et moment de torsion. $ω = \frac{2 π \times 1 480}{60} = 155 rad s^{- 1}$ , donc $M_{t} = \frac{P}{ω} = \frac{132 000}{155} = 852 N m$ ; on retient $M_{t} = 850 N m$ . Le tronçon isolé, entre l'accouplement et une section d'abscisse $x$ , reçoit le couple moteur par l'accouplement et l'action transmissible de la partie d'arbre située au-delà de la coupure ; les paliers ne transmettent aucun moment autour de l'axe (frottement négligé). En régime permanent, le PFS en moment sur l'axe impose donc, dans toute section, un moment de torsion d'intensité $M_{t}$ : l'arbre est en torsion uniforme.

2) Résistance. $d \geq (\frac{16 M _{t}}{π R _{p g}})^{1/3} = (\frac{16 \times 850}{π \times 60 \cdot 1 0 ^{6}})^{1/3} = 41, 6 mm .$ Un arbre de $45 mm$ ( $I_{0} = 4, 03 \cdot 1 0^{- 7} m^{4}$ ) résiste ( $τ_{m a x} = 47, 5 MPa$ ), mais se tord de $θ^{'} = \frac{M _{t}}{G I _{0}} = 0, 0264 rad m^{- 1} = 1, 5 1^{\circ} m^{- 1}$ , soit $2, 3^{\circ}$ sur sa longueur : six fois la limite. Non conforme en rigidité.

3) Rigidité. Avec $θ_{adm}^{'} = 0, 2 5^{\circ} m^{- 1} = 4, 36 \cdot 1 0^{- 3} rad m^{- 1}$ : $\frac{32 M _{t}}{π G d ^{4}} \leq θ_{adm}^{'} ⟺ d \geq (\frac{32 \times 850}{π \times 80 \cdot 1 0 ^{9} \times 4 , 36 \cdot 1 0 ^{- 3}})^{1/4} = 70, 6 mm .$ Arbre de $70 mm$ : $θ^{'} = 0, 25 8^{\circ} m^{- 1}$ , 3 % au-dessus de la limite, non conforme. Arbre de $75 mm$ : $θ^{'} = 0, 19 6^{\circ} m^{- 1}$ , conforme (marge 22 %). Le rapport des diamètres minimaux vaut $70, 6/41, 6 = 1, 7$ , et la masse, proportionnelle à $d^{2}$ , est près de trois fois celle qu'exigerait la seule résistance. Dans l'arbre de $75 mm$ , $τ_{m a x} = \frac{16 \times 850}{π \times 0 , 07 5 ^{3}} = 10, 3 MPa$ , six fois moins que $R_{p g}$ : la rigidité dimensionne.

4) Arbre creux. À rigidité égale, il faut le même $I_{0}$ : $D^{4} (1 - 0, 6^{4}) = d^{4}$ , d'où $D = \frac{70 , 6}{( 1 - 0 , 1296 ) ^{1/4}} = 73, 1 mm, d_{i} = 43, 8 mm .$ Masse par mètre, rapportée à celle de l'arbre plein de $70, 6 mm$ : $\frac{D ^{2} ( 1 - 0 , 36 )}{d ^{2}} = 0, 686$ , soit 31 % de matière en moins ; $τ_{m a x} = \frac{M _{t} D}{2 I _{0}} = 12, 8 MPa$ , toujours très loin de $R_{p g}$ . La matière enlevée au centre ne travaillait presque pas : la contrainte de torsion est proportionnelle à la distance à l'axe, et le moment quadratique polaire à la puissance quatrième de cette distance. En cotes normalisées, un tube de $75 \times 45 mm$ donne $0, 22 5^{\circ} m^{- 1}$ , conforme, pour 64 % de la masse de l'arbre plein de $75 mm$ .

5) Cas limite. $τ_{m a x} = \frac{M _{t}}{I _{0}} \cdot \frac{d}{2}$ et $θ^{'} = \frac{M _{t}}{G I _{0}}$ , donc $τ_{m a x} = G θ^{'} \frac{d}{2}$ : lorsque la rigidité est tout juste respectée, la contrainte vaut $G θ_{adm}^{'} d /2$ , qui croît avec le diamètre. Elle reste sous $R_{p g}$ tant que $d < \frac{2 R _{p g}}{G θ _{adm}^{'}} = \frac{2 \times 60 \cdot 1 0 ^{6}}{80 \cdot 1 0 ^{9} \times 4 , 36 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 0, 344 m .$ Pour tout arbre de moins de $344 mm$ (c'est-à-dire pour un couple inférieur à $R_{p g} π d^{3} /16 \approx 480 kN m$ ), la rigidité décide toujours : pour les arbres de machines courantes, le critère de résistance n'est qu'une vérification.

Ce que l'exercice installe. Le PFS sur un tronçon montre que le moment de torsion est uniforme entre la source et le récepteur. Un arbre se dimensionne sur deux critères : la contrainte $16 M_{t} / (π d^{3})$ et l'angle unitaire $M_{t} / (G I_{0})$ ; le second, en $d^{4}$ , l'emporte pour tous les arbres courants. L'arbre creux tire parti de ce que la matière éloignée de l'axe travaille le plus. Un résultat qui « vérifie » un angle sans le comparer à une exigence ne conclut rien.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre