sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Axe de chape : le cisaillement ne décide pas, le matage si

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · A. Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples · niveau 2

Énoncé

La tige d'un vérin de pelle hydraulique est articulée sur le bras par une chape : un axe cylindrique de diamètre $d$ traverse les deux flasques de la chape, d'épaisseur $e_{c} = 12 mm$ chacun, et l'œil de la tige, d'épaisseur $e = 20 mm$ , garni d'une bague ; il n'y a pas de jeu axial. L'effort transmis vaut $F = 40 kN$ , perpendiculaire à l'axe. Modèle local (donné) : l'œil exerce sur l'axe une charge répartie uniformément sur sa largeur $e$ , chaque flasque une charge répartie uniformément sur sa largeur $e_{c}$ ; la pression de contact entre l'axe et une pièce de largeur $ℓ$ qui lui transmet l'effort $P$ est représentée par sa valeur moyenne sur la surface projetée, $p = P / (d ℓ)$ (pression de matage). La contrainte moyenne de cisaillement dans une section droite de l'axe est $τ = T / S$ (relation du cours) ; en flexion, $σ_{m a x} = M / W$ avec $W = π d^{3} /32$ pour un disque. Données de l'énoncé : axe en acier, $R_{p g} = 100 MPa$ , $R_{p e} = 170 MPa$ ; pression admissible sur la bague de l'œil $p_{adm} = 80 MPa$ , sur les flasques $100 MPa$ . Exigence : les trois critères (cisaillement, matage, flexion) sont respectés.

1) Isoler l'axe et déterminer, par symétrie et PFS, l'effort exercé par chaque flasque. Exprimer les densités linéiques de charge $q_{o}$ (œil) et $q_{c}$ (flasque). Par le PFS appliqué au tronçon d'axe situé à gauche d'une coupure, déterminer l'intensité de l'effort tranchant $T$ et du moment de flexion $M$ transmis à travers la section, en fonction de la position de la coupure. Où l'effort tranchant est-il maximal ? Montrer que le moment est maximal au milieu de l'axe et vaut $M_{m a x} = \frac{F ( e + 2 e _{c} )}{8}$ .

2) Critère de cisaillement : diamètre minimal de l'axe.

3) Critère de matage : calculer la pression sur la bague pour le diamètre trouvé ; conclure, puis déterminer le diamètre minimal imposé par le matage. Vérifier les flasques.

4) Critère de flexion : calculer la contrainte maximale dans l'axe pour le diamètre retenu, et le diamètre minimal imposé par la flexion.

5) Conclure : diamètre retenu, critère dimensionnant, marge sur chaque critère. Cas limite : pour soulager la bague, on élargit l'œil à $e = 30 mm$ . Qu'y gagne-t-on ?

Corrigé

La stratégie. Le PFS sur l'axe, puis sur un tronçon d'axe, donne les actions transmissibles dans chaque section : effort tranchant et moment de flexion. Le modèle local (densités linéiques, pression de contact) donne la pression de matage. Trois critères, trois diamètres minimaux : le plus grand l'emporte.

1) Actions transmissibles. L'axe isolé reçoit $F$ de l'œil, au milieu, et les actions des deux flasques, symétriques : le PFS (résultante) donne $F /2$ par flasque, de sens opposé. Densités : $q_{o} = F / e = 2000 N m m^{- 1}$ et $q_{c} = F / (2 e_{c}) = 1667 N m m^{- 1}$ . On repère la coupure par son abscisse $s$ , comptée depuis le milieu de l'axe ; on isole le tronçon de gauche, et l'on travaille en intensités.

Dans le flasque, $- \frac{e}{2} - e_{c} \leq s \leq - \frac{e}{2}$ : le tronçon ne reçoit que la partie $q_{c} (s + \frac{e}{2} + e_{c})$ de l'action du flasque ; $T$ croît de $0$ à $F /2$ et $M = q_{c} (s + \frac{e}{2} + e_{c})^{2} /2$ croît de $0$ à $F e_{c} /4 = 120 N m$ .
Dans l'œil, $- \frac{e}{2} \leq s \leq 0$ : le tronçon reçoit $F /2$ du flasque, appliquée au milieu du flasque, et la charge de l'œil sur la longueur $s + \frac{e}{2}$ , de résultante $q_{o} (s + \frac{e}{2})$ appliquée au milieu de cette longueur. Le PFS sur le tronçon donne $T (s) = \frac{F}{2} - q_{o} (s + \frac{e}{2}), M (s) = \frac{F}{2} (s + \frac{e}{2} + \frac{e _{c}}{2}) - \frac{q _{o}}{2} (s + \frac{e}{2})^{2} .$ L'effort tranchant est maximal, $T = F /2$ , aux deux interfaces flasque-œil : ce sont les sections cisaillées du modèle « double cisaillement ». Il s'annule au milieu ( $s = 0$ ), où le moment est maximal (sa dérivée y est nulle) : $M_{m a x} = \frac{F}{2} \cdot \frac{e + e _{c}}{2} - \frac{F}{e} \cdot \frac{e ^{2}}{8} = \frac{F ( e + 2 e _{c} )}{8} = \frac{40 000 \times ( 20 + 24 )}{8} = 220000 N mm = 220 N m .$

2) Cisaillement. Dans chacune des deux sections cisaillées, $T = F /2 = 20 kN$ : $τ = \frac{T}{π d ^{2} /4} \leq R_{p g} ⟺ d \geq \frac{4 \times 20 000}{π \times 100} = 16, 0 mm .$

3) Matage. Pour $d = 16 mm$ , la bague reçoit $p = \frac{F}{d e} = \frac{40 000}{16 \times 20} = 125 MPa$ pour $80$ admis : non conforme, de 56 %. Le matage impose $d \geq \frac{F}{e p _{adm}} = \frac{40 000}{20 \times 80} = 25, 0 mm .$ Les flasques, à $d = 25 mm$ : $p = \frac{F /2}{d e _{c}} = \frac{20 000}{25 \times 12} = 66, 7 MPa \leq 100$ , conformes.

4) Flexion. À $d = 25 mm$ : $σ_{m a x} = \frac{32 M _{m a x}}{π d ^{3}} = \frac{32 \times 220 000}{π \times 2 5 ^{3}} = 143 MPa \leq 170 MPa,$ conforme ; le diamètre minimal en flexion est $d \geq (\frac{32 \times 220 000}{π \times 170})^{1/3} = 23, 6 mm$ .

5) Conclusion. On retient $\emptyset 25 mm$ , imposé par le matage. Marges : en cisaillement, $τ = \frac{4 \times 20 000}{π \times 2 5 ^{2}} = 40, 7 MPa$ pour $100$ , un facteur $2, 5$ ; en flexion, $143$ pour $170 MPa$ , 16 % ; en matage, aucune. Le critère « naturel » de l'axe, le cisaillement, est le moins exigeant des trois. Cas limite. Avec $e = 30 mm$ , le matage ne demande plus que $d \geq \frac{40 000}{30 \times 80} = 16, 7 mm$ , mais le moment devient $M_{m a x} = \frac{40 000 \times 54}{8} = 270 N m$ et la flexion impose $d \geq 25, 3 mm$ : on reste à $\emptyset 26$ . Élargir l'œil soulage la bague et charge l'axe en flexion : le gain est nul.

Ce que l'exercice installe. Le PFS sur un tronçon donne les actions transmissibles dans chaque section d'une pièce chargée par des densités linéiques : l'effort tranchant est maximal aux interfaces, le moment de flexion là où l'effort tranchant s'annule. Le passage du local au global donne la pression de contact. Un axe d'articulation se vérifie en cisaillement, en matage et en flexion ; on vérifie toujours le critère qu'on n'attend pas, et l'on regarde comment un remède déplace le problème d'un critère à l'autre.

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