sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Bras en porte-à-faux d'un portique de mesure : intégrer la déformée

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · A. Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Sur un portique de contrôle dimensionnel, une tête de mesure de poids $F = 200 N$ est portée en bout d'un bras horizontal de longueur $L = 0, 60 m$ , encastré dans un chariot supposé indéformable. Le bras est un tube carré d'aluminium $80 \times 80 \times 5 mm$ ( $E = 70 GPa$ , masse volumique $2700 kg m^{- 3}$ ) ; son moment quadratique vaut $I_{G z} = \frac{b ^{4} - ( b - 2 t ) ^{4}}{12}$ pour un côté $b$ et une épaisseur $t$ . Exigence (donnée de l'énoncé) : la flèche en bout du bras, sous le poids de la tête et sous son propre poids, ne dépasse pas $0, 05 mm$ (au-delà, la cartographie des erreurs de la machine ne la compense plus). Convention : $x$ le long du bras depuis l'encastrement, $y$ vers le haut ; torseur de cohésion des actions de la partie $x^{'} < x$ sur la partie $x^{'} > x$ ; déformée : $E I_{G z} y^{''} (x) = - M_{f z} (x)$ . Profilés disponibles : aluminium $100 \times 100 \times 5$ et $120 \times 120 \times 6$ ; acier ( $E = 210 GPa$ , $7850 kg m^{- 3}$ ) $80 \times 80 \times 5$ .

1) Isoler le bras et déterminer les actions de l'encastrement. Par la méthode des coupures, déterminer $T_{y} (x)$ et $M_{f z} (x)$ sous le poids de la tête seul, puis la contribution du poids propre, de densité linéique $q$ .

2) Intégrer l'équation de la déformée sous le poids de la tête, avec les conditions aux limites de l'encastrement. En déduire $y (L)$ ; vérifier le signe. Valeur numérique pour le tube $80 \times 80 \times 5$ .

3) Calculer la flèche due au poids propre, sachant que l'intégration avec $M_{f z} = q (L - x)^{2} /2$ donne $y (L) = - \frac{q L ^{4}}{8 E I _{G z}}$ . Flèche totale ; conclure. Que vaut la contrainte maximale ?

4) Comparer les trois autres profilés (flèche totale, masse linéique) et choisir.

5) Cas limite : pourquoi le passage à l'acier, trois fois plus rigide, ne suffit-il pas ? Le rapport $E / ρ$ de l'acier et de l'aluminium est-il en cause ?

Corrigé

La stratégie. Le PFS donne l'encastrement, la coupure donne le moment ; l'équation de la déformée s'intègre deux fois, et les deux constantes viennent des conditions aux limites de l'encastrement. La linéarité permet d'ajouter la flèche du poids propre (superposition). Puis on compare des solutions sur la flèche et sur la masse.

1) Encastrement et coupure. Le bras isolé reçoit la tête, $- F y$ en $x = L$ , son poids $- q y$ par unité de longueur, et l'action de l'encastrement : le PFS donne une résultante $(F + q L) y$ et un moment $(F L + q L^{2} /2) z$ en $x = 0$ . Le torseur de cohésion est l'opposé des actions extérieures sur la partie $x^{'} > x$ : sous la tête seule, $- (- F y) = F y$ , de moment en $G$ égal à $(L - x) x \land F y = F (L - x) z$ : $T_{y} = F, M_{f z} (x) = F (L - x) .$ Le poids propre ajoute $q (L - x)$ à $T_{y}$ et $q (L - x)^{2} /2$ à $M_{f z}$ . Contrôles : $d M_{f z} / d x = - T_{y}$ ; $M_{f z} (L) = 0$ (bout libre) ; $M_{f z} (0)$ est le moment de l'encastrement. Le moment est positif : la console fléchit « en dôme », fibre supérieure tendue.

2) Déformée. $E I_{G z} y^{''} = - F (L - x)$ . Encastrement : $y (0) = 0$ et $y^{'} (0) = 0$ (la section ne tourne pas). Deux intégrations : $E I_{G z} y^{'} (x) = - F (Lx - \frac{x ^{2}}{2}), E I_{G z} y (x) = - F (\frac{L x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6}) = - \frac{F x ^{2} ( 3 L - x )}{6},$ les constantes étant nulles par les conditions aux limites. En bout : $y (L) = - \frac{F L ^{3}}{3 E I _{G z}} .$ Le signe est négatif : la pointe descend, sous une charge qui descend. Un signe positif signalerait une convention mélangée (moment calculé avec une convention, déformée écrite avec l'autre). Tube $80 \times 80 \times 5$ : $I_{G z} = \frac{8 0 ^{4} - 7 0 ^{4}}{12} = 1, 41 \cdot 1 0^{6} m m^{4} = 1, 41 \cdot 1 0^{- 6} m^{4}$ , et $∣ y (L)∣ = \frac{200 \times 0 , 6 ^{3}}{3 \times 70 \cdot 1 0 ^{9} \times 1 , 41 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 1, 46 \cdot 1 0^{- 4} m = 0, 146 mm .$

3) Poids propre et superposition. Section $8 0^{2} - 7 0^{2} = 1500 m m^{2}$ , masse linéique $4, 05 kg m^{- 1}$ , $q = 39, 7 N m^{- 1}$ : $∣ y_{q} (L)∣ = \frac{39 , 7 \times 0 , 6 ^{4}}{8 \times 70 \cdot 1 0 ^{9} \times 1 , 41 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 0, 0065 mm .$ L'équation de la déformée étant linéaire, les flèches s'ajoutent : $0, 152 mm$ pour $0, 05$ admis, non conforme, d'un facteur 3. Contrainte maximale, à l'encastrement : $M = 200 \times 0, 6 + 39, 7 \times 0, 6^{2} /2 = 127 N m$ , $σ = \frac{M v}{I _{G z}} = \frac{127 \times 0 , 040}{1 , 41 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 3, 6 MPa$ : quelques pour cent de la limite d'un alliage d'aluminium. La résistance n'est pas une question ; seule la rigidité l'est.

4) Choix du profilé.

On note $f_{F}$ la flèche due à la tête, $f_{q}$ celle du poids propre.

profilé	$I_{G z}$ ( $c m^{4}$ )	masse ( $kg/m$ )	$f_{F}$ ( $mm$ )	$f_{q}$ ( $mm$ )	total ( $mm$ )
alu $80 \times 80 \times 5$	$141$	$4, 05$	$0, 146$	$0, 007$	$0, 152$
acier $80 \times 80 \times 5$	$141$	$11, 8$	$0, 049$	$0, 006$	$0, 055$
alu $100 \times 100 \times 5$	$287$	$5, 13$	$0, 072$	$0, 004$	$0, 076$
alu $120 \times 120 \times 6$	$594$	$7, 39$	$0, 035$	$0, 003$	$0, 037$

L'acier, seul, tiendrait l'exigence sous la tête ( $0, 049 mm$ ), mais son propre poids le fait sortir de 10 % : non conforme. Le tube d'aluminium $120 \times 120 \times 6$ est conforme, avec une marge de 25 %, et pèse $7, 4 kg m^{- 1}$ contre $11, 8$ pour l'acier : c'est lui qu'on retient (le chariot qui le porte, mobile, apprécie aussi la légèreté).

5) Cas limite. Le rapport $E / ρ$ est presque le même pour les deux métaux ( $26, 8$ pour l'acier, $25, 9 MN m k g^{- 1}$ pour l'aluminium) : à section égale, l'acier est trois fois plus rigide et trois fois plus lourd, si bien que la flèche due au poids propre, proportionnelle à $ρ / E$ , ne change presque pas ( $0, 0065$ contre $0, 0063 mm$ ). Le gain ne peut venir que de la géométrie : pour un tube mince, $I_{G z}$ croît comme $b^{3} t$ , la masse comme $b t$ .

Ce que l'exercice installe. Intégrer l'équation de la déformée $E I_{G z} y^{''} = - M_{f z}$ avec les conditions aux limites d'un encastrement ( $y = 0$ , $y^{'} = 0$ ) ; vérifier le signe de la flèche sur le sens de la charge, ce qui contrôle la convention. Le théorème de superposition ajoute les flèches de plusieurs charges. Pour une exigence de rigidité, on joue sur la géométrie de la section plutôt que sur le matériau, et l'on compte le poids propre.

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