sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Câbles d'ascenseur : la résistance est large, l'allongement ne l'est pas

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · A. Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples · niveau 2

Énoncé

Un ascenseur d'immeuble de bureaux dessert le rez-de-chaussée et quatorze étages, espacés de $3, 0 m$ . La machine est en haut de la gaine : la cabine ( $700 kg$ ) est suspendue à cinq câbles parallèles qui passent sur la poulie de traction et redescendent vers le contrepoids. On repère la cabine par la cote $z$ de son plancher ( $z = 0$ au rez-de-chaussée, $z = 3 n$ à l'étage $n$ ) ; la longueur de câble entre la poulie et la cabine vaut $L = 45 m - z$ . Chaque câble a une section métallique (somme des sections des fils) $S = 24, 3 m m^{2}$ et un module apparent $E_{c} = 100 GPa$ (donnée : la moitié du module de l'acier, parce que les torons se resserrent en s'allongeant) ; la résistance à la rupture des fils vaut $R_{m} = 1770 MPa$ . Charge nominale : $630 kg$ (huit personnes). Exigences (données de l'énoncé) : coefficient de sécurité des câbles $s = R_{m} / σ \geq 12$ ; précision d'arrêt $\pm 10 mm$ : quand les passagers entrent, le plancher de la cabine ne doit pas descendre de plus de $10 mm$ sous le niveau du palier.

1) Justifier le modèle « barre en traction » pour un câble. Par le PFS appliqué à la cabine chargée, immobile, calculer l'effort normal $N$ dans chaque câble ; par le PFS appliqué à un tronçon de câble, montrer que cet effort est le même dans toute section si l'on néglige le poids du câble. Estimer ce poids (acier, $7850 kg m^{- 3}$ ) et conclure.

2) Calculer la contrainte dans les fils et le coefficient de sécurité. Conclure sur l'exigence de résistance.

3) La cabine, vide, est arrêtée à niveau au rez-de-chaussée ; les $630 kg$ de passagers entrent, la poulie restant immobile. Calculer l'enfoncement $δ$ du plancher. Conclure sur la précision d'arrêt.

4) Exprimer $δ$ en fonction de l'étage $n$ et le tracer. À partir de quel étage l'exigence est-elle tenue ? Cas limite : le dernier étage.

5) Combien de câbles faudrait-il pour tenir la précision d'arrêt au rez-de-chaussée par la seule raideur ? Quel coefficient de sécurité aurait-on alors ? Quelle solution retient-on ? Que trouverait-on en prenant pour le câble le module de l'acier, $200 GPa$ ?

Corrigé

La stratégie. Le PFS donne l'effort dans chaque câble ; la relation de traction du cours donne la contrainte (critère de résistance) et l'allongement (critère de déplacement). Les deux exigences se vérifient séparément, sur le cas de charge qui leur correspond : la charge totale pour la résistance, la variation de charge pour l'enfoncement.

1) Modèle et effort normal. Un câble est long et fin, rectiligne, chargé à ses extrémités selon sa ligne moyenne : c'est une barre, qui ne peut que tirer. On isole la cabine chargée, soumise à son poids et aux cinq tensions, égales (l'attelage les équilibre) : $5 N = (700 + 630) \times 9, 81$ , soit $N = \frac{1 330 \times 9 , 81}{5} = 2609 N .$ On isole ensuite le tronçon de câble compris entre la cabine et une section quelconque : il est soumis à l'action de la cabine, $N$ vers le bas, et à celle du reste du câble à travers la coupure ; son poids étant négligé, le PFS impose une action transmissible de même intensité, $N$ , dans toute section : l'effort normal est uniforme. Ordre de grandeur du poids négligé : $24, 3 \cdot 1 0^{- 6} \times 7850 = 0, 19 kg m^{- 1}$ par câble, soit $5 \times 45 \times 0, 19 = 43 kg$ au plus, 3 % de la masse suspendue : négligeable pour la résistance, et sans effet sur l'enfoncement, qui ne dépend que de la variation de charge.

2) Résistance. $σ = \frac{N}{S} = \frac{2 609}{24 , 3} = 107, 4 MPa, s = \frac{R _{m}}{σ} = \frac{1 770}{107 , 4} = 16, 5 \geq 12.$ Conforme, avec une marge de $16, 5/12 = 1, 37$ , soit 37 % au-dessus du coefficient exigé.

3) Enfoncement au rez-de-chaussée. La poulie étant immobile, le plancher descend de l'allongement supplémentaire des câbles. La variation d'effort par câble vaut $Δ N = \frac{630 \times 9 , 81}{5} = 1236 N$ , et, avec $L = 45 m$ : $δ = \frac{Δ N L}{E _{c} S} = \frac{1 236 \times 45}{100 \cdot 1 0 ^{9} \times 24 , 3 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 22, 9 mm .$ Pour $10 mm$ admis : non conforme, par un facteur $2, 3$ . Les cinq câbles forment un ressort de raideur $5 E_{c} S / L = 270 N m m^{- 1}$ : chaque passager de $80 kg$ enfonce la cabine de près de $3 mm$ .

4) Selon l'étage. $δ$ est proportionnel à la longueur pendante : $δ (n) = 22, 9 \times \frac{45 - 3 n}{45} mm .$ L'exigence $δ \leq 10 mm$ impose $L \leq \frac{10}{22 , 9} \times 45 = 19, 7 m$ , soit $z \geq 25, 3 m$ : elle n'est tenue qu'à partir du neuvième étage ( $z = 27 m$ , $δ = 9, 2 mm$ ) ; au huitième, $δ = 10, 7 mm$ . Au quatorzième étage, cas limite, $L = 3 m$ et $δ = 1, 5 mm$ : un câble court est raide.

5) Remèdes. Pour tenir $10 mm$ au rez-de-chaussée par la raideur, il faudrait multiplier la section totale par $22, 9/10 = 2, 29$ , soit $5 \times 2, 29 = 11, 4$ , donc 12 câbles : le coefficient de sécurité passerait à $16, 5 \times 12/5 = 40$ . C'est déraisonnable. La solution des ascenseurs réels est le renivelage : la commande détecte l'écart, porte ouverte, et la machine remonte la cabine à niveau ; l'exigence de déplacement est confiée à la commande. Avec le module de l'acier, on aurait trouvé $δ = 11, 4 mm$ : presque conforme, et faux de moitié ; un câble n'est pas une barre pleine.

Ce que l'exercice installe. Une barre se vérifie sur deux critères : la contrainte $N / S$ contre la résistance (avec le coefficient de sécurité exigé), l'allongement $N L / (E S)$ contre l'exigence de déplacement. Chacun se calcule sur son cas de charge : la charge totale pour la résistance, la variation de charge pour le déplacement. Le PFS sur un tronçon montre que l'effort normal est uniforme quand rien ne charge la barre entre ses extrémités. Et une exigence de déplacement non tenue ne se règle pas toujours par la matière : ici, par la commande.

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