Complément (hors programme) — flambement d'une bielle : charge critique d'Euler

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · niveau 2

Énoncé

Une bielle articulée à ses deux extrémités (longueur de flambement $L_{k} = L = 0, 80 m$ ), en acier S235 ( $E = 210 G Pa$ , $R_{e} = 235 M Pa$ ), a une section circulaire pleine de diamètre $d = 20 mm$ . On admet la charge critique d'Euler $F_{crit} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}}$ , valable lorsque l'élancement $λ = L_{k} / ρ$ , avec $ρ = I / S$ , dépasse $λ_{c} = π E / R_{e}$ . Calculer la charge critique, la contrainte de compression correspondante, et vérifier le domaine de validité.

Corrigé

Moment quadratique : $I = \frac{π d ^{4}}{64} = \frac{π \times 0 , 02 0 ^{4}}{64} = 7, 854 \times 1 0^{- 9} m^{4}$ . Formule d'Euler :

$F_{crit} = \frac{π ^{2} E I}{L _{k}^{2}} = \frac{π ^{2} \times ( 210 \times 1 0 ^{9} ) \times ( 7 , 854 \times 1 0 ^{- 9} )}{0 , 8 0 ^{2}} = 25, 4 kN .$

Contrainte de compression correspondante : $σ = \frac{F _{crit}}{π d ^{2} /4} = \frac{25 435}{314} = 81 M Pa$ , trois fois moins que $R_{e}$ . Rayon de giration $ρ = d /4 = 5 mm$ , élancement $λ = 800/5 = 160$ , contre $λ_{c} = π 210 000/235 = 94$ : la bielle est élancée, la formule d'Euler s'applique, et c'est le flambement, non la plastification, qui limite la charge. Une vérification « en compression simple », contrainte comparée à $R_{e}$ , aurait admis près de trois fois trop.

Complément (hors programme) — flambement d'une bielle : charge critique d'Euler

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Corrigé

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