Complément (hors programme) — flexion et torsion combinées : contrainte équivalente

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · niveau 2

Énoncé

Un arbre de réducteur de diamètre $d = 50 mm$ subit simultanément un moment de flexion $M_{f} = 600 Nm$ et un moment de torsion $M_{t} = 800 Nm$ . Calculer les contraintes maximales $σ$ et $τ$ , puis les contraintes équivalentes de Von Mises et de Tresca définies dans le cours.

Corrigé

Module de flexion : $W_{f} = \frac{π d ^{3}}{32} = 1, 227 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ ; module de torsion : $\frac{I _{0}}{d /2} = \frac{π d ^{3}}{16} = 2 W_{f}$ . Contrainte normale maximale : $σ = \frac{M _{f}}{W _{f}} = \frac{600}{1 , 227 \times 1 0 ^{- 5}} = 48, 9 M Pa$ . Contrainte tangentielle maximale : $τ = \frac{M _{t}}{2 W _{f}} = \frac{800}{2 , 454 \times 1 0 ^{- 5}} = 32, 6 M Pa$ . Les deux maximums sont atteints au même point de la surface (fibre la plus éloignée de l'axe neutre de flexion), où l'état de contrainte est plan :

$σ_{eq, VM} = σ^{2} + 3 τ^{2} = 48, 9^{2} + 3 \times 32, 6^{2} = 74, 7 M Pa,$

$σ_{eq, T} = σ^{2} + 4 τ^{2} = 48, 9^{2} + 4 \times 32, 6^{2} = 81, 5 M Pa .$

Tresca est le plus sévère (9 % de plus) ; l'un et l'autre sont nettement supérieurs à chacune des deux contraintes prises seules : vérifier séparément la flexion et la torsion serait non conservatif.

Complément (hors programme) — flexion et torsion combinées : contrainte équivalente

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