sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Longeron d'aile : pourquoi des semelles, et ce que la flèche impose

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · A. Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On modélise la demi-aile d'un avion d'affaires par une poutre encastrée dans le fuselage à l'emplanture ( $x = 0$ ), de longueur $L = 8, 0 m$ . En vol stabilisé, la portance qui s'exerce sur la demi-aile vaut $F = 120 kN$ , répartie le long de l'aile selon une densité linéique trapézoïdale $q (x) = q_{0} (1 - (1 - k) \frac{x}{L})$ , avec $k = 0, 35$ (rapport de la densité en bout à la densité à l'emplanture). En ressource, toutes les charges sont multipliées par le facteur de charge $n = 3, 8$ . La flexion est reprise par le longeron : deux semelles en composite carbone ( $E = 140 GPa$ , contrainte admissible $σ_{adm} = 600 MPa$ ) de section $S$ chacune, dont les centres sont à $\pm h /2$ de la fibre neutre, $h = 0, 30 m$ ; l'âme qui les relie est négligée en flexion, et le moment quadratique est pris égal à $I_{G z} = 2 S (h /2)^{2}$ (Huygens, inertie propre des semelles négligée). Donnée (intégration de la déformée pour cette répartition) : la flèche en bout vaut $f = κ \frac{F _{n} L ^{3}}{E I _{G z}}$ , avec $κ = 0, 0969$ et $F_{n} = n F$ . Convention : torseur de cohésion des actions de la partie $x^{'} < x$ (côté fuselage) sur la partie $x^{'} > x$ ; $y$ vers le haut ; $σ (y) = \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y$ . Exigences : $∣ σ ∣ \leq σ_{adm}$ dans les semelles ; flèche en bout $f \leq 0, 35 m$ sous facteur de charge (donnée de l'énoncé).

1) Exprimer $q_{0}$ en fonction de $F$ , $k$ et $L$ . Montrer que la portance a pour point d'application le centre de poussée d'abscisse $x_{p} = L \frac{1 + 2 k}{3 ( 1 + k )}$ , et le calculer.

2) Par le PFS appliqué au tronçon $[x, L]$ , exprimer $M_{f z} (x)$ sous forme d'une intégrale ; en déduire $M_{f z} (0)$ en vol stabilisé, puis sous facteur de charge. Quelle semelle est comprimée ?

3) Montrer que la contrainte dans une semelle vaut, en intensité, $\frac{∣ M _{f z} ∣}{S h}$ , et l'interpréter en efforts. Dimensionner $S$ à l'emplanture.

4) On remplace le longeron par une section rectangulaire pleine de même hauteur $h$ , du même matériau. Quelle largeur faut-il ? Comparer les aires.

5) Calculer la flèche en bout avec les semelles dimensionnées en résistance. Conclure, et comparer deux remèdes : épaissir les semelles, ou augmenter la hauteur $h$ . Cas limite : que vaudrait $κ$ pour une portance uniforme ( $1/8$ ) ou concentrée en bout ( $1/3$ ) ? Commenter la valeur donnée.

Corrigé

La stratégie. Passer de la densité de charge à sa résultante et à son point d'application (modèle local vers global), écrire le PFS sur le tronçon extérieur pour obtenir le moment à l'emplanture, puis appliquer la relation de flexion à une section faite de deux semelles ; enfin, vérifier la flèche, que l'énoncé exige aussi.

1) Résultante et centre de poussée. $F = \int_{0}^{L} q (x) d x = q_{0} L \frac{1 + k}{2} ⟺ q_{0} = \frac{2 F}{L ( 1 + k )} = \frac{2 \times 120 000}{8 \times 1 , 35} = 22, 2 kN m^{- 1},$ et $k q_{0} = 7, 8 kN m^{- 1}$ en bout. Le moment de la portance en $x = 0$ vaut $\int_{0}^{L} x q (x) d x = q_{0} L^{2} (\frac{1}{2} - \frac{1 - k}{3}) = q_{0} L^{2} \frac{1 + 2 k}{6}$ , d'où $x_{p} = \frac{\int _{0}^{L} x q d x}{F} = L \frac{1 + 2 k}{3 ( 1 + k )} = 8 \times \frac{1 , 70}{4 , 05} = 3, 36 m = 0, 420 L .$ Contrôles : $k = 1$ (charge uniforme) donne $L /2$ ; $k = 0$ (triangle) donne $L /3$ .

2) Moment de flexion. Le torseur de cohésion est l'opposé des actions extérieures sur la partie $x^{'} > x$ , réduites en $G (x)$ : la portance sur $[x, L]$ , $\int_{x}^{L} q (u) d u y$ , de moment $\int_{x}^{L} (u - x) q (u) d u z$ . Donc $M_{f z} (x) = - \int_{x}^{L} (u - x) q (u) d u, M_{f z} (0) = - F x_{p} = - 120000 \times 3, 358 = - 403 kN m .$ Sous facteur de charge : $M_{f z} (0) = - 3, 8 \times 403 = - 1, 53 MN m$ . Avec $σ = M_{f z} y / I_{G z}$ et $M_{f z} < 0$ , la semelle supérieure ( $y > 0$ ) est comprimée, l'inférieure tendue : la portance fait fléchir l'aile vers le haut.

3) Contrainte dans les semelles. Avec $I_{G z} = 2 S h^{2} /4 = S h^{2} /2$ et $y = \pm h /2$ : $∣ σ ∣ = \frac{∣ M _{f z} ∣}{S h ^{2} /2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{∣ M _{f z} ∣}{S h} .$ En efforts : chaque semelle porte un effort normal d'intensité $∣ M_{f z} ∣ / h = \frac{1 , 531 \cdot 1 0 ^{6}}{0 , 30} = 5, 10 MN$ , l'une en compression, l'autre en traction ; ce couple d'efforts, de bras de levier $h$ , équilibre le moment. Dimensionnement : $S \geq \frac{∣ M _{f z} ∣}{h σ _{adm}} = \frac{1 , 531 \cdot 1 0 ^{6}}{0 , 30 \times 600 \cdot 1 0 ^{6}} = 85, 1 \cdot 1 0^{- 4} m^{2} = 85, 1 c m^{2} par semelle .$ Alors $I_{G z} = 85, 1 \cdot 1 0^{- 4} \times 0, 3 0^{2} /2 = 3, 83 \cdot 1 0^{- 4} m^{4}$ .

4) Section pleine. Pour un rectangle $b \times h$ , $W = \frac{b h ^{2}}{6}$ et $σ_{m a x} = \frac{∣ M _{f z} ∣}{W} \leq σ_{adm}$ donnent $b \geq \frac{6 ∣ M _{f z} ∣}{σ _{adm} h ^{2}} = 0, 170 m$ , soit une aire de $510 c m^{2}$ contre $2 \times 85, 1 = 170 c m^{2}$ : trois fois plus de matière, exactement ( $bh = 6 M / (σ h)$ contre $2 S = 2 M / (σ h)$ ). Dans la section pleine, la contrainte décroît linéairement jusqu'à zéro sur la fibre neutre : la matière du centre ne travaille presque pas. Les semelles la placent toute à la distance maximale.

5) Flèche. Avec $F_{n} = 3, 8 \times 120 = 456 kN$ : $f = 0, 0969 \times \frac{456 000 \times 8 ^{3}}{140 \cdot 1 0 ^{9} \times 3 , 83 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 0, 422 m,$ vers le haut, pour $0, 35 m$ admis : non conforme, de 21 % ; il faut multiplier $I_{G z}$ par $1, 21$ . Premier remède, épaissir les semelles à $h$ fixé : $S = 1, 21 \times 85, 1 = 103 c m^{2}$ , 21 % de matière en plus, et une contrainte qui tombe à $497 MPa$ , inutilement basse. Second remède, augmenter la hauteur en gardant la contrainte admissible : $S = ∣ M ∣ / (h σ_{adm})$ donne $I_{G z} = ∣ M ∣ h / (2 σ_{adm})$ , proportionnel à $h$ ; il faut $h = 1, 21 \times 0, 30 = 0, 362 m$ , et alors $S = 70, 5 c m^{2}$ : 17 % de matière en moins, si le profil de l'aile offre cette épaisseur. La hauteur est le levier de la rigidité comme de la résistance. Cas limite : à résultante égale, une portance uniforme donnerait $κ = 1/8 = 0, 125$ et $f = 0, 54 m$ , une force concentrée en bout $κ = 1/3$ et $f = 1, 45 m$ ; la valeur donnée, $0, 0969$ , est plus faible que celle de la charge uniforme parce que la répartition trapézoïdale concentre la portance près de l'emplanture.

Ce que l'exercice installe. Le passage d'une densité linéique à sa résultante et à son point d'application ; le PFS sur le tronçon extérieur d'une console pour obtenir le moment, avec le signe que donne la convention. La relation de flexion montre pourquoi l'on éloigne la matière de la fibre neutre : à contrainte égale, deux semelles demandent trois fois moins de matière qu'une section pleine de même hauteur. Et la flèche se vérifie toujours : ici encore, c'est elle qui dimensionne, et la hauteur de section est le remède le plus efficace.

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