sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Potence murale à tirant : la méthode des coupures sur une charge mobile

Résistance des Matériaux (RDM) et Dimensionnement des Structures · A. Hypothèses fondamentales de la RDM et sollicitations simples · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une potence d'atelier se compose d'un bras horizontal $A B$ , profilé IPE 140 de longueur $L = 3, 0 m$ , articulé au mur en $A$ (liaison pivot d'axe $(A, z)$ ), et d'un tirant $B C$ , barre ronde articulée en $B$ et au mur en $C$ , à $h = 1, 5 m$ au-dessus de $A$ . Un palan électrique de $50 kg$ roule sur l'aile inférieure du bras et lève $500 kg$ ; on note $a = A P$ la position du palan, $0 \leq a \leq L$ . Les effets dynamiques du levage sont pris en compte par un coefficient de $1, 25$ (donnée de l'énoncé) : la charge verticale appliquée en $P$ vaut $F = 1, 25 \times 550 \times 9, 81$ . Poids du bras et du tirant négligés (le bras pèse $39 kg$ ). Profilé IPE 140 : $S = 16, 4 c m^{2}$ , $I_{G z} = 541 c m^{4}$ , $W = 77, 3 c m^{3}$ (section symétrique). Acier S235 pour le bras et le tirant : $R_{e} = 235 MPa$ , coefficient de sécurité $1, 5$ , d'où $R_{p e} = 157 MPa$ . Convention : $x$ de $A$ vers $B$ , $y$ vertical ascendant ; le torseur de cohésion en $G (x)$ est celui des actions de la partie $x^{'} < x$ (côté mur) sur la partie $x^{'} > x$ ; $N > 0$ en compression ; $σ (y) = - \frac{N}{S} + \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y$ . Exigence : $∣ σ ∣ \leq R_{p e}$ en tout point du bras et du tirant, pour toute position du palan.

1) Le tirant étant soumis à deux actions seulement, quelle est la direction de l'action qu'il exerce en $B$ ? Isoler le bras et déterminer, en fonction de $a$ , la tension $T$ du tirant et l'action du mur en $A$ .

2) Par la méthode des coupures, déterminer $N$ , $T_{y}$ et $M_{f z}$ le long du bras, sur les deux tronçons $0 < x < a$ et $a < x < L$ . Vérifier $\frac{d M _{f z}}{d x} = - T_{y}$ . Tracer le diagramme du moment pour $a = L /2$ .

3) Montrer que la contrainte de plus grande intensité dans le bras vaut $σ_{m a x} (a) = \frac{N}{S} + \frac{∣ M _{f z} ∣ _{m a x}}{W}$ , et préciser la fibre où elle s'exerce. La calculer pour $a = L /2$ .

4) Déterminer la position la plus défavorable du palan et la contrainte correspondante. Conclure sur l'exigence.

5) Dimensionner le tirant. Cas limite : le palan en bout de bras ; que deviennent les sollicitations du bras ? Influence de la hauteur $h$ d'attache du tirant.

Corrigé

La stratégie. Le PFS sur le bras donne les actions aux liaisons ; la méthode des coupures, sur deux tronçons séparés par la charge, donne le torseur de cohésion en tout point ; la superposition de la compression et de la flexion donne la contrainte, qu'on maximise sur la position $x$ de la section puis sur la position $a$ du palan.

1) Actions aux liaisons. Le tirant, de poids négligé, n'est soumis qu'aux actions des deux articulations : elles sont opposées et portées par $B C$ . L'action du tirant sur le bras en $B$ est donc dirigée de $B$ vers $C$ : $- T \frac{L}{L ^{2} + h ^{2}}$ selon $x$ et $T \frac{h}{L ^{2} + h ^{2}}$ selon $y$ . On isole le bras ; moment en $A$ sur $z$ : la composante horizontale passe par $A$ , et $L T \frac{h}{L ^{2} + h ^{2}} - a F = 0 ⟺ T = \frac{F a L ^{2} + h ^{2}}{h L} .$ La composante verticale du tirant vaut $F a / L$ , sa composante horizontale $F a / h$ , dirigée vers le mur. Résultante : le mur exerce en $A$ une action horizontale $+ F a / h$ (il repousse le bras) et verticale $F (L - a) / L$ . Avec $F = 1, 25 \times 550 \times 9, 81 = 6744 N$ et $a = L /2$ : $T = 7540 N$ , action du mur $(6744; 3372) N$ .

2) Coupures. Le torseur de cohésion est celui des actions extérieures appliquées à la partie $x^{'} < x$ , réduit en $G (x)$ ; le moment en $G$ d'une force verticale $V y$ appliquée à l'abscisse $x_{i} < x$ vaut $(x_{i} - x) x \land V y = - (x - x_{i}) V z$ .

Tronçon $0 < x < a$ : la partie gauche ne reçoit que l'action du mur. $N = \frac{F a}{h}, T_{y} = \frac{F ( L - a )}{L}, M_{f z} = - \frac{F ( L - a )}{L} x .$
Tronçon $a < x < L$ : on ajoute la charge $- F y$ appliquée en $P$ , de moment $+ F (x - a) z$ . $N = \frac{F a}{h}, T_{y} = - \frac{F a}{L}, M_{f z} = - \frac{F ( L - a )}{L} x + F (x - a) = - \frac{F a ( L - x )}{L} .$ Contrôles : sur chaque tronçon, $d M_{f z} / d x = - T_{y}$ ; $M_{f z}$ est continu en $P$ et nul en $B$ (articulation) ; il est négatif partout (le bras fléchit en creux) et maximal en intensité sous le palan, $∣ M_{f z} ∣_{m a x} = F a (L - a) / L$ . L'effort normal, positif, est une compression uniforme : le tirant tire le bras vers le mur. Pour $a = L /2$ : $N = 6744 N$ , $T_{y} = \pm 3372 N$ , $∣ M_{f z} ∣_{m a x} = F L /4 = 5058 N m$ .

3) Contrainte maximale. Dans une section, $σ (y) = - \frac{N}{S} + \frac{M _{f z}}{I _{G z}} y$ ; avec $N > 0$ et $M_{f z} < 0$ , les deux termes sont négatifs pour $y > 0$ : la fibre supérieure est la plus comprimée, et, la section étant symétrique ( $v$ identique en haut et en bas), l'intensité maximale y vaut $\frac{N}{S} + \frac{∣ M _{f z} ∣}{W}$ : c'est la superposition de la compression et de la flexion. Sous le palan : $σ_{m a x} (a) = \frac{F a}{h S} + \frac{F a ( L - a )}{L W} .$ Pour $a = L /2$ : $\frac{6 744}{1 640} + \frac{5 058 \cdot 1 0 ^{3}}{77 300} = 4, 1 + 65, 4 = 69, 5 MPa$ . La flexion fait 94 % de la contrainte.

4) Position la plus défavorable. $\frac{d σ _{m a x}}{d a} = \frac{F}{h S} + \frac{F ( L - 2 a )}{L W} = 0$ donne $a^{*} = \frac{L}{2} + \frac{L W}{2 h S} = 1, 5 + \frac{3 \times 77 , 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2 \times 1 , 5 \times 16 , 4 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 1, 547 m,$ juste au-delà du milieu : la compression, qui croît avec $a$ , déplace l'optimum vers le bout. $σ_{m a x} (a^{*}) = 69, 6 MPa$ (contre $69, 5$ au milieu) pour $R_{p e} = 157 MPa$ : conforme, avec une marge de 56 %.

5) Tirant et cas limite. La tension est maximale palan en bout ( $a = L$ ) : $T = \frac{F L ^{2} + h ^{2}}{h} = \frac{6 744 \times 3 , 354}{1 , 5} = 15081 N$ ; $\frac{4 T}{π d ^{2}} \leq R_{p e}$ impose $d \geq 11, 1 mm$ : barre de $\emptyset 12 mm$ . Cas limite : palan en $B$ , le moment est nul tout le long (la charge est reprise directement par le tirant) ; le bras n'est plus qu'une barre comprimée, $N = F L / h = 13489 N$ , $σ = 8, 2 MPa$ . Chaque pièce a son cas de charge : $a = L$ pour le tirant, $a \approx L /2$ pour le bras. Influence de $h$ : avec $h = 1, 0 m$ , le bras monte à $71, 8 MPa$ et le tirant à $21, 3 kN$ ; avec $h = 2, 0 m$ , $68, 6 MPa$ et $12, 2 kN$ . La hauteur d'attache pèse peu sur le bras, dominé par la flexion, et beaucoup sur le tirant.

Ce que l'exercice installe. La méthode des coupures : le torseur de cohésion est celui des actions extérieures appliquées à la partie gauche, réduit au centre de la section ; une charge ponctuelle sépare deux tronçons, à traiter chacun ; le contrôle $d M_{f z} / d x = - T_{y}$ et les valeurs aux extrémités valident le calcul. La superposition de deux sollicitations s'additionne sur la fibre où elles sont de même signe. Une charge mobile se traite en maximisant d'abord sur la section, puis sur la position de la charge ; chaque pièce a son propre cas dimensionnant.

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