Poutre sur deux appuis chargée en son milieu : torseur de cohésion et choix d'un profilé

1. Par symétrie (ou par le PFS, moment en $A$) : $R_A=R_B=\frac{F}{2}=6,0\mathrm{kN}$, verticales vers le haut.

2. Le torseur de cohésion est celui des actions extérieures appliquées à la partie gauche, réduit en $G(x)$. Pour $0<x<L/2$, la partie gauche ne reçoit que $R_A\overrightarrow{y}$ en $A$, de moment en $G$ égal à $(-x\overrightarrow{x})\wedge R_A\overrightarrow{y}=-R_{A}x\overrightarrow{z}$ :

$$T_y(x)=+\frac{F}{2},M_{fz}(x)=-\frac{Fx}{2}.$$

Pour $L/2<x<L$, on ajoute la charge $-F\overrightarrow{y}$ appliquée en $C$ : $T_y(x)=-\frac{F}{2}$ et $M_{fz}(x)=-\frac{Fx}{2}+F\left(x-\frac{L}{2}\right)=-\frac{F(L-x)}{2}$. On vérifie $\mathrm{d}{M}_{fz}/\mathrm{d}x=-T_y$ et $M_{fz}(0)=M_{fz}(L)=0$. Le moment est maximal en intensité au milieu :

$$|M_{fz}{|}_{\text{max}}=\frac{FL}{4}=\frac{12000\times 4,0}{4}=12000\mathrm{Nm}=12\mathrm{kNm}.$$

3. Module de flexion minimal requis :

$$W_{fz}\ge \frac{|M_{fz}{|}_{\text{max}}}{R_{pe}}=\frac{12000}{160\times 10^6}=7,5\times 10^{-5}{\text{m}}^3=75\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$$

On choisit un profilé normalisé IPE 140 ($W_{fz}=77,3\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$) : ${\sigma }_{\max }=\frac{12000}{77,3\times 10^{-6}}=155\mathrm{M}\mathrm{Pa}\le 160\mathrm{M}\mathrm{Pa}$, marge de 3 %. Avec $M_{fz}<0$, la relation $\sigma =M_{fz}y/I_{Gz}$ donne $\sigma <0$ pour $y>0$ : la fibre supérieure est comprimée, l'inférieure tendue, comme pour toute poutre qui fléchit en creux. (Les manuels qui écrivent $M_{fz}=+Fx/2$ emploient l'autre convention, actions de la partie droite sur la partie gauche, avec $\sigma =-M_{fz}y/I_{Gz}$ et $E{I}_{Gz}{y}^{\prime \prime }=M_{fz}$ ; le résultat physique est le même, à condition de ne jamais mélanger les deux.)

Compléments (hors programme)

Les critères de Tresca et de Von Mises, le flambement et les enveloppes minces sous pression ne figurent pas au programme ; les exercices suivants, signalés comme compléments, les illustrent.