Problème — Complément (hors programme) : mât rotor d'hélicoptère sous traction, flexion et torsion

1. $S=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)=5,419\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ ; $I_{Gz}=\frac{\pi }{64}(D^4-d^4)=9,111\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$ ; $W_f=\frac{I_{Gz}}{D/2}=1,402\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$ ; $I_0=2I_{Gz}$, donc $W_t=\frac{I_0}{D/2}=2,803\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$.

2. ${\sigma }_N=\frac{N}{S}=12,0\mathrm{M}\mathrm{Pa}$ (traction) ; ${\sigma }_f=\frac{M_f}{W_f}=128,4\mathrm{M}\mathrm{Pa}$ ; sur la fibre tendue par la flexion, les deux s'ajoutent (superposition) : $\sigma =140,4\mathrm{M}\mathrm{Pa}$. $\tau =\frac{M_t}{W_t}=124,8\mathrm{M}\mathrm{Pa}$, maximale sur tout le contour extérieur. En ce point de la surface extérieure, l'état de contrainte est plan : une contrainte normale $\sigma$ selon l'axe et une contrainte tangentielle $\tau$ ; la face extérieure est libre de tout effort (et non pas « triaxial », comme on le lit parfois).

3.

$${\sigma }_{\text{eq, VM}}=\sqrt{140,4^2+3\times 124,8^2}=257,8\mathrm{M}\mathrm{Pa},$$

$${\sigma }_{\text{eq, T}}=\sqrt{140,4^2+4\times 124,8^2}=286,5\mathrm{M}\mathrm{Pa}.$$

Les deux sont inférieures à $R_{pe}\approx 450\mathrm{M}\mathrm{Pa}$ : conforme en statique, avec une marge de 36 % selon Tresca. La torsion fournit à elle seule 70 % de ${\sigma }_{\text{eq}}^2$ (Von Mises). Le moment de battement étant alterné, la pièce se dimensionne en réalité en fatigue, ce que ce calcul statique ne couvre pas.