Problème — Complément (hors programme) : sphère habitée d'un sous-marin abyssal

1. $P=\rho gh=1025\times 9,81\times 11000=110,6\mathrm{M}\mathrm{Pa}$, soit environ $1100\mathrm{bar}$ ; on retient $P=110\mathrm{M}\mathrm{Pa}$.

2. La pression sur une demi-sphère a pour résultante $P\pi R^2$ (surface projetée : passage du local au global) ; elle est équilibrée par la contrainte de compression sur la couronne de coupure, $\sigma \times 2\pi Re$. Donc $\sigma =\frac{PR}{2e}$. Avec $R_{pe}=\frac{950}{1,5}=633,3\mathrm{M}\mathrm{Pa}$ :

$$e\ge \frac{PR}{2R_{pe}}=\frac{110\times 10^6\times 1,10}{2\times 633,3\times 10^6}=0,0955\mathrm{m}=95,5\mathrm{mm}.$$

On adopte $e=100\mathrm{mm}$ : $\sigma =605\mathrm{M}\mathrm{Pa}$. Le rapport $e/R=0,09$ reste celui d'une paroi assez mince pour que le modèle de membrane donne le bon ordre de grandeur.

3. $p_{\text{cr}}=\frac{2\times 110000}{\sqrt{3\times (1-0,33^2)}}\times {\left(\frac{0,100}{1,10}\right)}^2=1110\mathrm{M}\mathrm{Pa}$, dix fois $P$. Mais cette valeur suppose une sphère parfaite : les défauts de forme la réduisent fortement, et c'est la raison des tolérances de sphéricité très serrées imposées à la fabrication. Sous pression extérieure, une coque se vérifie toujours en flambement autant qu'en résistance.