Problème : la poutre de pont roulant, ou quand la flèche commande à la contrainte

La stratégie. PFS sur la poutre, puis méthode des coupures pour le moment ; intégration de la déformée avec ses conditions aux limites pour la flèche ; comparaison des inerties exigées par les deux critères ; vérification d'une section réelle ; superposition du poids propre ; enfin, recherche du cas de charge le plus défavorable.

1) Réactions et moment. $F=31000\times 9,81=304110\mathrm{N}$. Par symétrie (ou par le moment en $A$), $Y_A=Y_B=F/2=152\mathrm{kN}$. Sur $0<x<L/2$, la partie gauche ne reçoit que $Y_A\overrightarrow{y}$ en $A$, de moment en $G$ égal à $(-x\overrightarrow{x})\wedge \frac{F}{2}\overrightarrow{y}=-\frac{Fx}{2}\overrightarrow{z}$ : $$T_y=\frac{F}{2},M_{fz}(x)=-\frac{Fx}{2}.$$ Sur $L/2<x<L$, on ajoute $-F\overrightarrow{y}$ en $x=L/2$ : $T_y=-\frac{F}{2}$, $M_{fz}(x)=-\frac{Fx}{2}+F\left(x-\frac{L}{2}\right)=-\frac{F(L-x)}{2}$. Le moment est négatif (la poutre fléchit en creux), nul aux appuis, maximal en intensité au milieu : $$|M_{fz}{|}_{\max }=\frac{FL}{4}=\frac{304110\times 24}{4}=1,82\mathrm{MN}\mathrm{m}.$$

2) Déformée. Sur $[0,L/2]$ : $E{I}_{Gz}{y}^{\prime \prime }=\frac{Fx}{2}$, d'où $E{I}_{Gz}{y}^{\prime }=\frac{F{x}^2}{4}+C_1$ et $E{I}_{Gz}y=\frac{F{x}^3}{12}+C_{1}x+C_2$. Conditions aux limites : l'appui en $A$ impose $y(0)=0$, donc $C_2=0$ ; la symétrie de la poutre et du chargement impose une tangente horizontale au milieu, $y^{\prime }(L/2)=0$, donc $C_1=-\frac{F{L}^2}{16}$. Ainsi $$y(x)=-\frac{Fx(3L^2-4x^2)}{48E{I}_{Gz}}\left(0\le x\le \frac{L}{2}\right),y\left(\frac{L}{2}\right)=-\frac{F{L}^3}{48E{I}_{Gz}}.$$ La flèche, vers le bas, vaut $f=\frac{F{L}^3}{48E{I}_{Gz}}$ ; la symétrie a évité d'intégrer le second tronçon.

3) Inertie exigée. Flèche : $f\le f_{\text{adm}}=0,024\mathrm{m}$ impose $$I_{Gz}\ge \frac{F{L}^3}{48E{f}_{\text{adm}}}=\frac{304110\times 24^3}{48\times 210\cdot 10^9\times 0,024}=0,0174{\mathrm{m}}^4=1,74\cdot 10^6\mathrm{c}{\mathrm{m}}^4.$$ Résistance : ${\sigma }_{\max }=\frac{|M{|}_{\max }v}{I_{Gz}}\le R_{pe}$ impose $I_{Gz}\ge \frac{|M{|}_{\max }v}{R_{pe}}$ ; pour $1600\mathrm{mm}$ de hauteur ($v=0,80\mathrm{m}$), $I_{Gz}\ge \frac{1,825\cdot 10^6\times 0,80}{157\cdot 10^6}=0,0093{\mathrm{m}}^4$ ; pour $1300\mathrm{mm}$ ($v=0,65\mathrm{m}$), $0,0076{\mathrm{m}}^4$. La flèche exige de $1,9$ à $2,3$ fois l'inertie que demande la résistance, et l'écart grandit quand la poutre est moins haute.

4) Le caisson. Âmes : deux rectangles de $10\times 1560\mathrm{mm}$ centrés sur la fibre neutre, $2\times \frac{0,010\times 1,56^3}{12}=0,00633{\mathrm{m}}^4$. Semelles : deux rectangles de $600\times 20\mathrm{mm}$ dont les centres sont à $d=\frac{1,600-0,020}{2}=0,79\mathrm{m}$ ; par Huygens, $2\left(\frac{0,6\times 0,02^3}{12}+0,6\times 0,02\times 0,79^2\right)=2(4\cdot 10^{-7}+0,00749)=0,01498{\mathrm{m}}^4$ ; l'inertie propre des semelles est négligeable, tout vient du terme $S{d}^2$. Total : $I_{Gz}=0,0213{\mathrm{m}}^4$. Aire $2\times 0,01\times 1,56+2\times 0,6\times 0,02=0,0552{\mathrm{m}}^2$, soit $433\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$ ($10,4\mathrm{t}$ par poutre). Sous la charge : $$f=\frac{304110\times 24^3}{48\times 210\cdot 10^9\times 0,0213}=0,0196\mathrm{m}=19,6\mathrm{mm}\le 24\mathrm{mm},$$ conforme, marge de 18 % ; ${\sigma }_{\max }=\frac{1,825\cdot 10^6\times 0,80}{0,0213}=68,5\mathrm{MPa}$, soit 44 % de $R_{pe}$ : la section est dimensionnée par la flèche, et la contrainte est loin de sa limite. Le premier essai ($1300\times 500$, âmes de $8$, semelles de $14\mathrm{mm}$) a $I_{Gz}=0,0085{\mathrm{m}}^4$ : contrainte $139\mathrm{MPa}$, conforme en résistance, mais flèche $48,9\mathrm{mm}$, le double de l'admissible. Une poutre dimensionnée en résistance seule est ici fausse d'un facteur 2.

5) Poids propre. $q=433\times 9,81=4251\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$. L'équation de la déformée étant linéaire, et le moment de la somme des charges étant la somme des moments, les flèches s'ajoutent : $$f_q=\frac{5\times 4251\times 24^4}{384\times 210\cdot 10^9\times 0,0213}=4,1\mathrm{mm},f_{\text{tot}}=19,6+4,1=23,7\mathrm{mm}\le 24\mathrm{mm}.$$ Conforme de justesse (1 %). Les contraintes s'ajoutent de même : $\frac{q{L}^2}{8}=306\mathrm{kN}\mathrm{m}$ ajoutent $11,5\mathrm{MPa}$, total $80\mathrm{MPa}$. En atelier, on donne aux poutres une contre-flèche (une courbure vers le haut à la fabrication) qui compense la flèche du poids propre : seule reste alors la flèche sous la charge, celle que vise l'exigence.

6) Cas limites. (a) Pour $0\le a\le L/2$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\left[a(3L^2-4a^2)\right]=3L^2-12a^2\ge 0$ : la flèche au milieu croît jusqu'à $a=L/2$, où elle vaut $\frac{F{L}^3}{48E{I}_{Gz}}$ (par symétrie, de même pour $a\ge L/2$) ; le moment sous la charge, $Fa(L-a)/L$, est lui aussi maximal pour $a=L/2$. Le chariot au milieu est le cas dimensionnant. (b) Monopoutre : $F$ double, $I_{Gz}\ge 0,0348{\mathrm{m}}^4$, la somme exacte des inerties des deux poutres : en flexion verticale, une poutre ou deux, c'est la même inertie totale. Le choix du bipoutre pour les fortes charges tient à d'autres raisons : chariot posé sur les deux poutres (hauteur de levage), et poutre unique sollicitée en torsion par un palan suspendu d'un seul côté.

Le résultat obtenu — flèche de la poutre sur deux appuis chargée en son milieu, et théorème de superposition. Une poutre de portée $L$, sur deux appuis simples, chargée d'une force $F$ en son milieu, a pour moment de flexion $M_{fz}=-Fx/2$ sur sa première moitié (torseur de cohésion des actions de la partie gauche sur la partie droite), d'intensité maximale $FL/4$ au milieu ; l'intégration de $E{I}_{Gz}{y}^{\prime \prime }=-M_{fz}$ avec $y(0)=0$ et $y^{\prime }(L/2)=0$ donne la déformée $y=-Fx(3L^2-4x^2)/(48E{I}_{Gz})$ et la flèche $f=\frac{F{L}^3}{48E{I}_{Gz}}$. Sous plusieurs charges, dans l'hypothèse des petites perturbations et d'un matériau élastique linéaire, moments, contraintes et flèches sont les sommes de ceux que produit chaque charge seule (théorème de superposition) ; pour une charge uniforme $q$, la flèche au milieu vaut $5q{L}^4/(384E{I}_{Gz})$. Pour le pont roulant : $I_{Gz}\ge 0,0174{\mathrm{m}}^4$ par le critère de flèche, deux fois ce qu'exige la résistance ; le caisson de $1600\mathrm{mm}$ donne $19,6\mathrm{mm}$ sous charge, $23,7\mathrm{mm}$ avec son poids, et travaille à $80\mathrm{MPa}$.

Ce que l'exercice installe. La chaîne complète du calcul de poutre : PFS pour les réactions, méthode des coupures sur deux tronçons pour le moment, intégration de la déformée avec des conditions aux limites tirées des appuis et de la symétrie, superposition des charges. Le moment quadratique d'une section composée se calcule par Huygens, et le terme $S{d}^2$ des semelles domine. Pour une structure de grande portée, c'est la flèche qui commande : la contrainte n'est qu'une vérification.