De l'eau dans une enceinte vide : faire une hypothèse et la vérifier

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 3 — Le corps pur sous deux phases · D. Le titre en vapeur

Énoncé

Une enceinte rigide de volume $V = 10, 0 L$ , initialement vide, est maintenue à $100^{\circ} C$ par un thermostat. On y introduit une masse $m$ d'eau, et l'on attend l'équilibre. Données à $100^{\circ} C$ : $P_{s} = 1, 014 bar$ , $v_{L} = 1, 043 \times 1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ , $v_{V} = 1, 672 m^{3} k g^{- 1}$ ; $M = 18, 0 g mo l^{- 1}$ , $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ . La vapeur sèche est traitée comme un gaz parfait.

1) $m = 1, 0 g$ . On suppose que toute l'eau est vaporisée. Calculer la pression. L'hypothèse est-elle cohérente ? Le vérifier aussi en comparant $v = V / m$ à $v_{V}$ .

2) $m = 10, 0 g$ . Reprendre la même hypothèse : quelle pression obtient-on ? Pourquoi est-ce impossible ? En déduire l'état réel, la pression, le titre en vapeur et la masse de liquide.

3) Quelle masse minimale faut-il introduire pour qu'une goutte de liquide apparaisse ?

4) Peut-on introduire $10 kg$ d'eau dans l'enceinte à $100^{\circ} C$ (comparer $V / m$ à $v_{L}$ ) ? Il faudrait environ $1000 bar$ pour amener le volume massique de l'eau liquide à $1, 000 \times 1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ à cette température : commenter.

5) Point de rosée. L'enceinte contenant $1, 0 g$ d'eau est refroidie lentement. À l'aide de la table ci-dessous, déterminer la température à laquelle apparaît la première goutte.

$θ$ ( $^{\circ} C$ )	$P_{s}$ (kPa)
$40$	$7, 38$
$50$	$12, 35$
$55$	$15, 76$
$60$	$19, 95$

6) Résumer la méthode : quelle hypothèse faire, quel critère permet de la rejeter, et que calcule-t-on ensuite ?

Corrigé

Le système et les contraintes. Le système est la masse $m$ d'eau introduite, fermé. L'extérieur impose son volume (paroi rigide) et sa température (thermostat) : $v = V / m$ est imposé, la pression et la composition sont inconnues. On fait une hypothèse sur l'état final, on calcule, on vérifie.

1) Un gramme. Hypothèse : tout est vapeur, gaz parfait. $P = \frac{m R T}{M V} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{- 3} \times 8 , 314 \times 373 , 15}{18 , 0 \times 1 0 ^{- 3} \times 10 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 0, 172 bar < P_{s} :$ l'hypothèse est cohérente. Second critère : $v = 10 m^{3} k g^{- 1} > v_{V}$ , le point est à droite de la courbe de rosée.

2) Dix grammes. La même hypothèse donne $P = 1, 72 bar$ . Or une vapeur sèche à $100^{\circ} C$ ne peut pas dépasser $P_{s} = 1, 014 bar$ : le point $(100^{\circ} C, 1, 72 bar)$ est dans le domaine liquide du diagramme $(P, T)$ . L'hypothèse est contradictoire. De fait, $v = 1, 00 m^{3} k g^{- 1}$ est compris entre $v_{L}$ et $v_{V}$ : l'état est diphasé, à $P = P_{s} = 1, 014 bar$ , de titre $x_{V} = \frac{v - v _{L}}{v _{V} - v _{L}} = \frac{1 , 00 - 1 , 043 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 672 - 1 , 043 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 0, 598,$ avec $m_{V} \approx 5, 98 g$ de vapeur et $m_{L} \approx 4, 0 g$ de liquide, qui n'occupent que $4 mL$ au fond de l'enceinte.

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