Le titre est une fraction massique

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 3 — Le corps pur sous deux phases

Énoncé

Un corps pur est en équilibre liquide-vapeur ; on note $v_{L}$ et $v_{V}$ les volumes massiques du liquide et de la vapeur saturants, $m_{L}$ et $m_{V}$ les masses de liquide et de vapeur, $m = m_{L} + m_{V}$ la masse totale, $V$ le volume total et $x_{V} = m_{V} / m$ le titre en vapeur.

1) En utilisant l'extensivité du volume et de la masse, établir $v = (1 - x_{V}) v_{L} + x_{V} v_{V}$ . En déduire que le point $M$ du palier est le barycentre des points $L$ et $V$ affectés des masses $m_{L}$ et $m_{V}$ , puis la règle des moments $x_{V} = L M / L V$ . Pourquoi ce nom ?

2) Exprimer la fraction volumique de vapeur $φ_{V} = V_{V} / V$ en fonction de $x_{V}$ , $v_{L}$ et $v_{V}$ . Application à l'eau à $100^{\circ} C$ ( $v_{L} = 1, 043 \times 1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ , $v_{V} = 1, 672 m^{3} k g^{- 1}$ ) pour $x_{V} = 0, 2$ et $x_{V} = 0, 9$ .

3) Pour quel titre les deux phases occupent-elles le même volume ? Commenter l'ordre de grandeur.

4) Les diagrammes industriels sont souvent tracés avec une abscisse logarithmique en $v$ . Un point $M$ est placé exactement au milieu du palier sur un tel diagramme. Quel est son volume massique ? son titre ? Quelle erreur commettrait-on en appliquant la règle des moments aux longueurs lues sur le dessin ?

Corrigé

La stratégie. Tout découle d'une propriété : volume et masse sont extensifs. On écrit les deux sommes et l'on divise ; la règle des moments n'est que la traduction géométrique de cette addition.

1) La règle des moments. Chaque phase occupe le volume de sa masse au volume massique saturant : $V = m_{L} v_{L} + m_{V} v_{V}$ . En divisant par $m = m_{L} + m_{V}$ :

$v = \frac{m _{L} v _{L} + m _{V} v _{V}}{m _{L} + m _{V}} = (1 - x_{V}) v_{L} + x_{V} v_{V} .$

L'abscisse de $M$ est la moyenne de celles de $L$ et $V$ pondérées par les masses : $M$ est le barycentre de $(L, m_{L})$ et $(V, m_{V})$ . D'où $v - v_{L} = x_{V} (v_{V} - v_{L})$ , soit $x_{V} = \frac{v - v _{L}}{v _{V} - v _{L}} = \frac{L M}{L V}$ , et de même $1 - x_{V} = M V / L V$ . Ainsi $m_{L} \cdot L M = m_{V} \cdot M V$ : c'est l'équilibre d'un levier appuyé en $M$ , chargé de $m_{L}$ en $L$ et de $m_{V}$ en $V$ — l'égalité des moments, d'où le nom.

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