Liquide ou gaz : ce que dit la pente d'une isotherme

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 3 — Le corps pur sous deux phases · C. L'équilibre liquide-vapeur : diagramme de Clapeyron (P,v)

Énoncé

On dispose des mesures suivantes sur l'isotherme $20^{\circ} C$ du $C O_{2}$ (volume massique en $1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ ) :

$P$ (bar)	$v$ ( $1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ )
$10$	$52, 4$
$20$	$24, 5$
$30$	$15, 1$
$40$	$10, 3$
$50$	$7, 11$
$57, 3$ (vapeur saturante)	$5, 15$
$57, 3$ (liquide saturant)	$1, 29$
$60$	$1, 28$
$70$	$1, 24$
$80$	$1, 21$
$100$	$1, 17$

1) Placer ces points dans le diagramme de Clapeyron et identifier les trois portions de l'isotherme.

2) Calculer la variation relative de volume $Δ v / v$ entre $20$ et $40 bar$ (vapeur), puis entre $60$ et $100 bar$ (liquide). Ramener chacune à une variation de pression de $1 bar$ . Relier le rapport obtenu à la pente des deux branches dans le diagramme.

3) Que prédirait le gaz parfait entre $20$ et $40 bar$ ? La vapeur est-elle plus ou moins compressible que le gaz parfait ? Calculer le facteur de compressibilité $Z = \frac{P v M}{R T}$ à $10 bar$ et sur la vapeur saturante ( $M = 44, 0 g mo l^{- 1}$ , $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ ). Commenter.

4) Le volume massique de l'eau liquide à $20^{\circ} C$ diminue de $0, 45 %$ de $1$ à $101 bar$ . Comparer à de l'air (gaz parfait) porté isothermement de $1$ à $2 bar$ , et justifier le modèle de la phase condensée incompressible.

5) Volumes massiques $(v_{L}; v_{V})$ saturants du $C O_{2}$ , en $1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ : $(1, 08; 10, 2)$ à $0^{\circ} C$ , $(1, 29; 5, 15)$ à $20^{\circ} C$ , $(1, 69; 2, 90)$ à $30^{\circ} C$ ; au point critique ( $31, 0^{\circ} C$ ), $v_{c} = 2, 14$ . Que devient la différence de compressibilité des deux branches quand $T \to T_{c}$ ? Que dire de la pente de l'isotherme critique en $C$ ?

Corrigé

La stratégie. Une isotherme presque verticale dans le diagramme $(P, v)$ signifie qu'une grande variation de pression change à peine le volume (fluide peu compressible), une isotherme couchée l'inverse. On quantifie par la variation relative de volume par unité de pression, $- \frac{1}{v} \frac{Δ v}{Δ P}$ , indépendante de la quantité de matière et de l'échelle du dessin.

1) Trois portions. De $10$ à $57, 3 bar$ , $v$ décroît fortement : branche vapeur. À $57, 3 bar$ , deux volumes massiques très différents à la même pression : les extrémités du palier (courbes de rosée et d'ébullition), entre lesquelles le fluide est diphasé. Au-delà, $v$ ne bouge presque plus : branche liquide, quasi verticale.

2) Deux compressibilités. Vapeur, de $20$ à $40 bar$ : $\frac{Δ v}{v} = \frac{10 , 3 - 24 , 5}{24 , 5} \approx - 58 %$ , soit environ $- 2, 9 %$ par bar. Liquide, de $60$ à $100 bar$ : $\frac{1 , 17 - 1 , 28}{1 , 28} \approx - 8, 6 %$ , soit environ $- 0, 22 %$ par bar. La vapeur est environ treize fois plus compressible que le liquide : pour un même déplacement vertical, le point se déplace beaucoup horizontalement sur la branche vapeur, à peine sur la branche liquide.

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