Problème : le tube de Natterer, disparition du ménisque et loi du diamètre rectiligne

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · thermodynamique (MPSI), chapitre 3 — Le corps pur sous deux phases · D. Le titre en vapeur

Énoncé

Un tube de verre rigide, de volume intérieur $V$ et de section constante, de hauteur $H$ , a été vidé d'air puis scellé après y avoir introduit une masse $m$ d'eau. On le chauffe lentement, en position verticale. On note $ρ = m / V$ la masse volumique moyenne de son contenu, $ρ_{L} = 1/ v_{L}$ et $ρ_{V} = 1/ v_{V}$ les masses volumiques du liquide et de la vapeur saturants. Le point critique de l'eau est en $θ_{c} = 373, 95^{\circ} C$ , $P_{c} = 220, 6 bar$ , $ρ_{c} = 322 kg m^{- 3}$ .

Table (eau sur la courbe de saturation, masses volumiques arrondies au $kg m^{- 3}$ ) :

$θ$ ( $^{\circ} C$ )	$ρ_{L}$ ( $kg m^{- 3}$ )	$ρ_{V}$ ( $kg m^{- 3}$ )
$300$	$712$	$46$
$320$	$667$	$65$
$340$	$611$	$93$
$350$	$575$	$114$
$360$	$528$	$144$
$365$	$496$	$166$
$370$	$451$	$202$

1) Montrer que le point représentatif du contenu décrit une verticale du diagramme de Clapeyron $(P, v)$ , et que, tant que le contenu est diphasé, la donnée de $T$ suffit à fixer son état.

2) On néglige l'épaisseur du ménisque, et l'on admet que le liquide occupe le bas du tube. Par extensivité de la masse et du volume, montrer que la fraction du volume occupée par le liquide, donc la hauteur relative $h / H$ du ménisque, vaut $φ_{L} = \frac{ρ - ρ _{V}}{ρ _{L} - ρ _{V}} .$

3) Calculer $h / H$ de $300$ à $370^{\circ} C$ pour trois tubes de masses volumiques moyennes $200$ , $322$ et $500 kg m^{- 3}$ , et décrire le mouvement du ménisque. Le tube à $500$ est entièrement liquide vers $364^{\circ} C$ : que devient la pression si l'on continue à chauffer ? On donne, à $ρ = 500 kg m^{- 3}$ : $P \approx 197 bar$ à $364^{\circ} C$ , $271 bar$ à $380^{\circ} C$ , $372 bar$ à $400^{\circ} C$ . Le tube à $200$ est entièrement vapeur vers $370^{\circ} C$ .

4) Loi du diamètre rectiligne. Vérifier que la demi-somme $\frac{1}{2} (ρ_{L} + ρ_{V})$ est quasi affine en $T$ , alors que $ρ_{L}$ et $ρ_{V}$ ne le sont pas. En déduire, par une régression linéaire (à la main sur deux points, ou en Python), une estimation de $ρ_{c}$ à $θ_{c} = 373, 95^{\circ} C$ . Comparer à la valeur tabulée.

5) Pour le tube à $ρ = ρ_{c}$ : en écrivant la loi du diamètre rectiligne sous la forme $\frac{1}{2} (ρ_{L} + ρ_{V}) = ρ_{c} + b (T_{c} - T)$ , avec $b > 0$ , montrer que $\frac{h}{H} = \frac{1}{2} - b \frac{T _{c} - T}{ρ _{L} - ρ _{V}} .$ Vérifier sur la table que $\frac{T _{c} - T}{ρ _{L} - ρ _{V}}$ tend vers $0$ quand $T \to T_{c}$ , et conclure : où le ménisque disparaît-il ?

6) Préparer l'expérience. Quelle fraction d'un tube de $2, 0 mL$ faut-il remplir d'eau liquide à $20^{\circ} C$ ( $ρ = 998 kg m^{- 3}$ ) pour voir le ménisque disparaître au milieu ? Quelle pression le tube doit-il supporter ? Que risquerait-on en le remplissant à moitié ? Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

1) Une isochore. Le système est la masse $m$ d'eau du tube : fermé (tube scellé), de volume imposé par la paroi rigide (on néglige la dilatation du verre). Son volume massique $v = V / m = 1/ ρ$ est constant : dans le diagramme $(P, v)$ , le point décrit une verticale. Tant que le contenu est diphasé, $P = P_{s} (T)$ et $x_{V} = (v - v_{L} (T)) / (v_{V} (T) - v_{L} (T))$ avec $v$ connu : la donnée de $T$ fixe tout (une variable libre, exercice 1). Le pont avec le cours : les tables critiques sont publiées en masses volumiques, $ρ_{L} = 1/ v_{L}$ , $ρ_{V} = 1/ v_{V}$ , et une verticale du diagramme $(P, v)$ est une masse volumique moyenne constante.

2) La règle des moments en masses volumiques. Avec $V_{L}$ et $V_{V}$ les volumes des deux phases, l'extensivité donne $V = V_{L} + V_{V}$ et $m = ρ_{L} V_{L} + ρ_{V} V_{V}$ . En divisant par $V$ , avec $φ_{L} = V_{L} / V$ : $ρ = φ_{L} ρ_{L} + (1 - φ_{L}) ρ_{V}, d’o u ˋ φ_{L} = \frac{ρ - ρ _{V}}{ρ _{L} - ρ _{V}} .$ Le liquide, plus dense, occupe le bas d'un tube de section constante : $h / H = φ_{L}$ . C'est la règle des moments, rôles échangés : pour le titre, on pondère des volumes massiques par des masses ; ici, des masses volumiques par des volumes.

3) Trois tubes, trois destins. Le calcul de $h / H$ , ligne par ligne (par exemple $(322 - 46) / (712 - 46) \approx 0, 414$ à $300^{\circ} C$ ), donne :

$θ$ ( $^{\circ} C$ )	$ρ = 200$	$ρ = 322$	$ρ = 500$
$300$	$0, 231$	$0, 414$	$0, 682$
$320$	$0, 224$	$0, 427$	$0, 723$
$340$	$0, 207$	$0, 442$	$0, 786$
$350$	$0, 187$	$0, 451$	$0, 837$
$360$	$0, 146$	$0, 464$	$0, 927$
$365$	$0, 103$	$0, 473$	$1$
$370$	$0$	$0, 482$	$1$

$ρ = 500$ ( $v < v_{c}$ ) : le ménisque monte, le liquide se dilatant plus vite que la vapeur ne se densifie, et le tube est plein de liquide quand $ρ_{L} = 500$ , vers $364^{\circ} C$ (interpolation entre $360$ et $365$ ). La verticale sort de la cloche par la courbe d'ébullition. Au-delà, le liquide presque incompressible est chauffé à volume fixé : la pression quitte $P_{s} (T)$ et monte de $197$ à $372 bar$ entre $364$ et $400^{\circ} C$ , environ $5 bar$ par degré. C'est l'enceinte pleine de l'exercice 6 : le tube explose.
$ρ = 200$ ( $v > v_{c}$ ) : le ménisque descend, le tube est plein de vapeur quand $ρ_{V} = 200$ , vers $370^{\circ} C$ ; la verticale sort par la courbe de rosée.
$ρ = 322 = ρ_{c}$ : le ménisque reste près du milieu ( $0, 41$ à $0, 48$ ) ; la verticale passe par le sommet de la cloche. Le ménisque s'aplatit, devient flou et disparaît au point critique.

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