Une isotherme de l'eau, de bout en bout, dans les deux diagrammes

Application directe du cours · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 3 — Le corps pur sous deux phases

Énoncé

Un cylindre fermé par un piston contient $m = 1, 0 g$ d'eau, maintenue à $100^{\circ} C$ par un thermostat. Au départ, le volume vaut $V_{0} = 3, 0 L$ . On enfonce très lentement le piston, de sorte que l'eau est à chaque instant en équilibre (transformation quasi statique). On donne $M = 18, 0 g mo l^{- 1}$ , $R = 8, 314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ , et à $100^{\circ} C$ : $P_{s} = 1, 014 bar$ , $v_{L} = 1, 043 \times 1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ , $v_{V} = 1, 672 m^{3} k g^{- 1}$ .

1) Dans quel état est l'eau au départ ? Calculer sa pression en la traitant comme un gaz parfait, et vérifier la cohérence de l'hypothèse.

2) À quel volume apparaît la première goutte de liquide ? Comparer la valeur déduite de $v_{V}$ à celle que prédirait le modèle du gaz parfait à la pression $P_{s}$ . Commenter l'écart.

3) Décrire la suite de la compression jusqu'à la disparition de la dernière bulle. À quel volume a-t-elle lieu ? Où se trouve le point représentatif quand $x_{V}$ passe de $1$ à $0$ ? Quel est le volume à mi-palier ( $x_{V} = 0, 5$ ) ?

4) Tracer l'allure de l'isotherme dans le diagramme $(P, v)$ . Pourquoi les manuels dessinent-ils la branche liquide loin de l'axe des pressions, alors que $v_{V} / v_{L} \approx 1600$ ?

5) Représenter la même transformation dans le diagramme $(P, T)$ . Que devient le palier ?

6) À $300^{\circ} C$ , $P_{s} = 85, 9 bar$ et $v_{V} = 0, 0217 m^{3} k g^{- 1}$ . Que prédirait le gaz parfait ? Conclure sur la validité du modèle pour une vapeur saturante.

Corrigé

Le système et la transformation. Le système est la masse $m = 1, 0 g$ d'eau, fermé. L'extérieur impose la température (le thermostat) et le volume (le piston, déplacé lentement). On suit l'isotherme $100^{\circ} C$ vers les volumes décroissants ; c'est la pression qui s'ajuste.

1) L'état initial. $v_{0} = V_{0} / m = 3, 0 m^{3} k g^{- 1} > v_{V}$ : le point est à droite de la courbe de rosée, l'eau est entièrement vapeur. En gaz parfait :

$P_{0} = \frac{m R T}{M V _{0}} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{- 3} \times 8 , 314 \times 373 , 15}{18 , 0 \times 1 0 ^{- 3} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 57, 4 kPa,$

inférieur à $P_{s} = 101, 4 kPa$ : une vapeur à $100^{\circ} C$ sous une pression inférieure à $P_{s}$ est bien sèche. Le résultat confirme l'hypothèse qui a servi à le calculer.

2) La première goutte. Elle apparaît sur la courbe de rosée, $v = v_{V}$ : $V_{ros e ˊ e} = m v_{V} = 1, 672 L$ . Le gaz parfait atteindrait $P_{s}$ pour $V = \frac{m R T}{M P _{s}} \approx 1, 698 L$ : écart de $1, 6 %$ . Sous $1 bar$ , même au seuil de la condensation, la vapeur d'eau est presque un gaz parfait ; le volume réel est un peu plus faible, signe des attractions entre molécules qui vont les lier en liquide.

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