Identifier un facteur de Boltzmann : la conductivité du silicium

Facteur de Boltzmann et distribution des populations · niveau 2

Énoncé

La conductivité d'un semi-conducteur pur (intrinsèque) est proportionnelle à la densité $n$ de ses électrons libres, à un facteur près qui varie lentement avec $T$ . Libérer un électron crée une paire électron libre et lacune électronique (le « trou »), et coûte l'énergie $E_{g} = 1, 12 eV$ dans le silicium (largeur de la bande interdite). On admet que le produit $n p$ des densités d'électrons libres et de trous est proportionnel au facteur de Boltzmann de la création d'une paire, $n p \propto T^{3} e^{- E_{g} / k_{B} T}$ .

Montrer que $n \propto T^{3/2} e^{- E_{g} /2 k_{B} T}$ . Pourquoi l'exposant contient-il $E_{g} /2$ ?
Estimer le rapport $σ (350 K) / σ (300 K)$ .
Comment mesurerait-on $E_{g}$ à partir de $σ (T)$ ?

Corrigé

1) Dans un semi-conducteur pur, chaque électron libéré laisse un trou : $n = p$ . Donc $n^{2} \propto T^{3} e^{- E_{g} / k_{B} T}$ et $n \propto T^{3/2} e^{- E_{g} /2 k_{B} T}$ . Le facteur de Boltzmann identifiable est celui de la création d'une paire, $e^{- E_{g} / k_{B} T}$ ; la densité de chacun des deux porteurs en est la racine carrée, d'où l'exposant $E_{g} /2$ . Ce n'est donc pas la « probabilité qu'un électron franchisse $E_{g} /2$ » : aucune énergie $E_{g} /2$ n'est mise en jeu, et l'interprétation directe de $e^{- E_{g} /2 k_{B} T}$ comme un facteur de Boltzmann serait fausse.

2) $k_{B} T$ vaut $25, 85 m eV$ à $300 K$ et $30, 16 m eV$ à $350 K$ . Le facteur exponentiel vaut

$exp [\frac{E _{g}}{2} (\frac{1}{k _{B} \cdot 300} - \frac{1}{k _{B} \cdot 350})] = exp [\frac{0 , 56}{0 , 02585} - \frac{0 , 56}{0 , 03016}] = e^{3, 09} ≃ 22,$

et le préfacteur $(350/300)^{3/2} = 1, 26$ : $σ (350) / σ (300) ≃ 28$ . L'exponentielle domine largement : une hausse de $50 K$ multiplie la conductivité par près de trente. Avec $x = E_{g} /2 k_{B} T = 21, 7$ à $300 K$ , la sensibilité vaut $x / T ≃ 7 %$ par kelvin : c'est le principe des thermistances.

3) On trace $ln σ$ en fonction de $1/ T$ : une droite, au préfacteur près, de pente $- E_{g} /2 k_{B}$ . Il faut doubler la pente lue pour obtenir $E_{g}$ : oublier le facteur $2$ donnerait $0, 56 eV$ , une erreur classique.