L'atmosphère isotherme confrontée à l'atmosphère réelle

La stratégie. On établit la loi par la seule mécanique (équilibre d'une tranche, gaz parfait), puis on la relit molécule par molécule : c'est le poids de Boltzmann. On confronte enfin le modèle à des données : la pression le supporte assez bien, la composition le dément, et l'écart dit ce qui manque au modèle.

1) La loi du nivellement barométrique. La tranche, de masse $\rho S\mathrm{d}z$, est en équilibre sous trois forces verticales : la pression de l'air situé dessous, $+P(z)S$ ; celle de l'air situé dessus, $-P(z+\mathrm{d}z)S$ ; son poids, $-\rho gS\mathrm{d}z$. Leur somme est nulle : $$P(z)S-P(z+\mathrm{d}z)S-\rho gS\mathrm{d}z=0⟹\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-\rho g.$$ Cette relation de la statique des fluides vaut quelle que soit la température. Pour un gaz parfait, $\rho =\frac{PM}{RT}$ ; si $T$ est uniforme, $$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-\frac{Mg}{RT}P⟹P(z)=P(0){\mathrm{e}}^{-z/H},H=\frac{RT}{Mg}=\frac{k_{B}T}{mg},$$ la seconde forme venant de $R={\mathcal{N}}_A{k}_B$ et $M={\mathcal{N}}_{A}m$. Numériquement, $H=\frac{8,314\times 288}{28,96\times 10^{-3}\times 9,81}=8,43\mathrm{km}$ à $288\mathrm{K}$, et $7,32\mathrm{km}$ à $250\mathrm{K}$.

2) Le poids de Boltzmann. Pour un gaz parfait, $P=n{k}_{B}T$ ; à $T$ uniforme, $n$ est proportionnel à $P$ : $$n(z)=n(0){\mathrm{e}}^{-mgz/k_{B}T}=n(0){\mathrm{e}}^{-E_p(z)/k_{B}T}.$$ Le nombre de molécules contenues dans une tranche d'épaisseur $\mathrm{d}z$ est $n(z)S\mathrm{d}z$ ; la probabilité de trouver une molécule donnée dans cette tranche lui est proportionnelle. D'où, pour deux tranches de même épaisseur, $$\frac{\text{probabiliteˊ en }{z}_2}{\text{probabiliteˊ en }{z}_1}=\frac{n(z_2)}{n(z_1)}={\mathrm{e}}^{-\left[E_p(z_2)-E_p(z_1)\right]/k_{B}T}.$$ C'est le poids de Boltzmann : une molécule, en équilibre avec le reste de l'air (qui joue le rôle de thermostat), se trouve à une altitude d'énergie potentielle $E_p$ avec un poids ${\mathrm{e}}^{-E_p/k_{B}T}$. Deux tendances s'opposent : la pesanteur, qui rassemble les molécules en bas, et l'agitation thermique, mesurée par $k_{B}T$, qui les disperse. À $z=H$, $E_p=mgH=k_{B}T$ exactement : la hauteur caractéristique est l'altitude où l'énergie potentielle égale l'énergie thermique, et la densité y est divisée par $\mathrm{e}$. À $1\mathrm{m}$, $\frac{mgz}{k_{B}T}=\frac{Mgz}{RT}=\frac{28,96\times 10^{-3}\times 9,81\times 1}{8,314\times 288}=1,19\times 10^{-4}$ : la pression ne varie que de $0,012\%$ par mètre ($12\mathrm{Pa}$), d'où la pression uniforme d'une salle.

3) Confrontation à l'atmosphère type. Les valeurs de $\ln (P/1\mathrm{kPa})$ sont $4,618$ ; $4,376$ ; $3,989$ ; $3,572$ ; $3,118$. Les pentes successives valent $-0,121$ ; $-0,129$ ; $-0,139$ ; $-0,151\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{-1}$ : les points sont presque alignés, mais la courbe se creuse avec l'altitude. La droite des moindres carrés a la pente $-0,1361\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{-1}$ (la corde entre $0$ et $11\mathrm{km}$ donne $-0,1364\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{-1}$), d'où $$H=7,35\mathrm{km},T_{\text{eˊq}}=\frac{MgH}{R}=\frac{28,96\times 10^{-3}\times 9,81\times 7,35\times 10^3}{8,314}=251\mathrm{K}.$$ Le modèle isotherme à $288\mathrm{K}$ prévoit $P(11\mathrm{km})=101,3{\mathrm{e}}^{-11/8,43}=27,5\mathrm{kPa}$, contre $22,6\mathrm{kPa}$ : il surestime la pression de $21\%$, parce que l'air réel, plus froid en altitude, est plus dense et sa pression décroît plus vite. L'isotherme à $251\mathrm{K}$ partant de $P(0)$ s'écarte encore de $5\%$ à $5\mathrm{km}$ (la droite ajustée sur tous les points, de $2,7\%$) : une exponentielle ne suit pas une courbe qui se creuse.

La température équivalente s'explique sans nouveau modèle. L'équation $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-\rho g$ et la loi des gaz parfaits valent à chaque altitude, d'où $\frac{\mathrm{d}P}{P}=-\frac{Mg}{R}\frac{\mathrm{d}z}{T(z)}$ et $$\ln \frac{P(0)}{P(z)}=\frac{Mg}{R}{\int }_0^z\frac{\mathrm{d}{z}^{\prime }}{T(z^{\prime })}.$$ Une atmosphère isotherme à $T_{\text{eˊq}}$ donne la même pression en $z$ si $\frac{1}{T_{\text{eˊq}}}$ est la moyenne de $1/T$ sur la colonne. Pour $T$ décroissant linéairement de $288,2$ à $216,7\mathrm{K}$, cette moyenne vaut $\frac{\ln (288,2/216,7)}{288,2-216,7}$, soit $T_{\text{eˊq}}=251\mathrm{K}$ : c'est bien la valeur ajustée. Pour la pression, le modèle isotherme est bon à quelques pour cent près, avec la bonne température.

4) La composition dément le modèle. Chaque espèce aurait son propre poids de Boltzmann, $n_i(z)=n_i(0){\mathrm{e}}^{-M_{i}gz/RT}$. Le rapport des nombres de molécules de dioxygène et de diazote serait multiplié, à l'altitude $z$, par $${\mathrm{e}}^{-(M_{{\mathrm{O}}_2}-M_{{\mathrm{N}}_2})gz/RT}=\exp \left(-\frac{3,99\times 10^{-3}\times 9,81\times 10^4}{8,314\times 250}\right)={\mathrm{e}}^{-0,188}=0,828\text{aˋ }10\mathrm{km}.$$ Le rapport passerait de $21/79=0,266$ à $0,220$, et la fraction de dioxygène de $21\%$ à $\frac{0,220}{1,220}=18,0\%$. À $100\mathrm{km}$, le facteur vaut ${\mathrm{e}}^{-1,88}=0,152$ et la fraction tomberait à $3,9\%$. Or la composition mesurée reste celle du sol jusque vers $100\mathrm{km}$. L'hypothèse d'équilibre est fausse pour la composition : les vents et la convection brassent l'air bien plus vite que la pesanteur ne trie les molécules, et l'air se comporte comme un gaz unique de masse molaire moyenne $M$. Elle est acceptable pour la pression, qui ne dépend que de $M$ et de $T$ : ce brassage n'y change rien. Au-dessus de $100\mathrm{km}$, l'air devient si raréfié que le brassage cède : chaque gaz suit alors son propre poids de Boltzmann. Pour l'hélium à $250\mathrm{K}$, $H=\frac{8,314\times 250}{4,00\times 10^{-3}\times 9,81}=53\mathrm{km}$, sept fois la valeur de l'air : la densité de l'hélium décroît beaucoup moins vite que celle du diazote, et les gaz légers (hélium, puis hydrogène) finissent par dominer la très haute atmosphère, ce qu'on observe.

Ce que l'exercice installe. La loi du nivellement barométrique s'établit par la statique d'une tranche et le gaz parfait isotherme, $H=RT/Mg=k_{B}T/mg$ ; relue molécule par molécule, elle est le poids de Boltzmann ${\mathrm{e}}^{-E_p/k_{B}T}$, compétition entre l'énergie potentielle et $k_{B}T$. Et un réflexe de physicien : un modèle se valide sur des données, grandeur par grandeur ; ici il décrit la pression avec la bonne température (moyenne de $1/T$), mais pas la composition, qui révèle un brassage hors d'équilibre.